Question

В правильной треугольной пирамиде боковое ребро образует с плоскостью основания угол 60. Сторона основания пирамиды равна 8 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Answer 1

Надеюсь понятно. ......

Answer 2

Пусть $ABCD$ - основание пирамиды, $E$ - ее вершина, а $AE$ - высота. Тогда треугольник $ABE$ является прямоугольным, так как $\angle AEB = 90^\circ$. Поскольку боковое ребро образует с плоскостью основания угол $60^\circ$, то угол между боковым ребром и высотой равен $30^\circ$.

Мы знаем, что сторона основания $ABCD$ равна 8 см, поэтому $AB = BC = CD = 8$ см. Также мы знаем, что $AE$ - высота, а $BE$ - боковое ребро. Пусть $BE = x$. Тогда, используя теорему Пифагора в треугольнике $ABE$, мы можем выразить $AE$:

$$AE^2 = AB^2 - BE^2 = 8^2 - x^2.$$

Теперь мы можем выразить площадь боковой поверхности пирамиды как сумму площадей треугольников $ABE$, $BCE$ и $CDE$:

$$S_{бок} = S_{ABE} + S_{BCE} + S_{CDE}.$$

Площадь треугольника можно вычислить по формуле:

$$S_{тр} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}.$$

Для треугольника $ABE$ имеем:

$$S_{ABE} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AE = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot \sqrt{8^2 - x^2}.$$

Аналогично для треугольников $BCE$ и $CDE$:

$$S_{BCE} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CE = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot \sqrt{8^2 - x^2},$$

$$S_{CDE} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot DE = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot \sqrt{8^2 - x^2}.$$

Таким образом, получаем:

$$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot \sqrt{8^2 - x^2} + \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot \sqrt{8^2 - x^2} + \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot \sqrt{8^2 - x^2} = 12 \cdot \sqrt{8^2 - x^2}.$$

Осталось найти значение $x$. Из прямоугольного треугольника $ABE$ мы знаем, что:

$$\t$$