Question

Помогите пожалуйста ! Я никак не могу решить.. при каких значениях х имеет смысл выражение √(x^2-2x-35) +1/√(10-x)? Объясните пожалуйста!

Answer 1

X^2-2x-35«0
x^2-2x-35=0
D=4-4*35=144
x1=(2+12)/2=7
x2=(2-12)/2=-5

Из этого уравнения 7«x«-5

10-x>0
x<10

Из этого уравнения следует, что x<10

7«x«-5
x<10

x принадлежит (-бесконечность; -5]U[7;10)

Answer 2

Для того чтобы определить, при каких значениях $x$ имеет смысл данное выражение, необходимо учесть ограничения на значения под корнями.

Извлечение корня из отрицательного числа не имеет смысла в действительных числах, поэтому выражение под первым корнем должно быть неотрицательным:

$x^2-2x-35 \geq 0$

Выполним факторизацию левой части неравенства:

$(x-7)(x+5) \geq 0$

Теперь необходимо учесть второе ограничение на значения $x$. Деление на ноль не имеет смысла, поэтому знаменатель второго слагаемого должен быть отличен от нуля:

$10-x \neq 0$

$x \neq 10$

Таким образом, мы получили два ограничения на значения $x$:

$(x-7)(x+5) \geq 0$

$x \neq 10$

Теперь можно определить интервалы, на которых данное выражение имеет смысл. Для этого необходимо рассмотреть три случая:

1. $x < -5$

В этом случае $(x-7)(x+5) < 0$, а значит, под корнем в первом слагаемом будет отрицательное число, что не имеет смысла в действительных числах. Второе слагаемое в этом случае также имеет смысл, так как $x \neq 10$. Итого, выражение имеет смысл при $x \in (-\infty, -5)$.

2. $-5 \leq x \leq 7$

В этом случае $(x-7)(x+5) \leq 0$, а значит, под корнем в первом слагаемом будет неотрицательное число. Второе слагаемое также имеет смысл, так как $x \neq 10$. Итого, выражение имеет смысл при $x \in [-5, 7]$.

3. $x > 7$

В этом случае $(x-7)(x+5) > 0$, а значит, под корнем в первом слагаемом будет неотрицательное число. Второе слагаемое также имеет смысл, так как $x \neq 10$. Итого, выражение имеет смысл при $x \in (7, \infty)$.

Таким образом, выражение имеет смысл при $x \in (-\infty, -5) \cup [-5, 7] \cup (7, \infty)$.