Question

Боковая сторона равно бедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении 4 : 5, считая от вершины угла при основании треугольника. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 104 см

Answer 1

Решение в приложении

Answer 2

Обозначим боковую сторону равнобедренного треугольника через $a$, а катеты (равные между собой) через $b$. Пусть точка касания вписанной окружности лежит на катете $b$.

Тогда из условия задачи получаем, что $b = 4x$ и $a-b = 5x$, где $x$ — некоторое число.

Заметим, что $a = b + (a-b) = 9x$. Также, из равенства периметра треугольника $P = a + 2b$ и подстановки выражений для $a$ и $b$ получаем уравнение:

$$P = 9x + 2 \cdot 4x = 17x = 104 \text{ см}$$

Отсюда находим $x = 6$.

Теперь можем найти все стороны треугольника:

$$b = 4x = 24 \text{ см}$$

$$a = 9x = 54 \text{ см}$$

Проверим, что полученные значения удовлетворяют условию задачи:

$$a - b = 5x = 30 \text{ см}$$

$$P = a + 2b = 54 + 2 \cdot 24 = 102 \text{ см}$$

Как видим, условие задачи выполняется. Ответ: стороны треугольника равны $24$ см, $54$ см и $54$ см.