Question

1. Дан угол с вершиной внутри круга. Доказать, что этот угол тупой.   2. Из вершины А треугольника АВС проведена высота АD. Точки F и Е - середины сторон АВ и АС. Найти периметр DEF, если периметр АВС = 64 см.   3.Биссектрисы углов В и С параллелограмма АВСD пересекаются в точке М, лежащей на стороне DA. Найдите периметр параллелограмма ABCD, если ВМ=6 см, а СМ=8 см.   4. В окружности радиуса √2 см проведена хорда, длина которой составляет одну треть диаметра. Найдите расстояние от центра окружности до этой хорды.    

Answer 1

1.  Возможно, этот угол опирается на диаметр, потому как в противном случае есть контрпример. Продлим одну из сторон угла назад до пересечения с окружностью. Данный угол внешний для треугольника, у которого один из углов 90 градусов, а второй не равняется нулю. Значит, угол больше 90 градусов, но меньше 180 градусов. Значит, данный угол - тупой по определению.

2. В треугольнике АДВ медиана ДF равна половине гипотенузы АВ. Аналогично ДЕ равно половине АС. А ЕF - средняя линия треугольника АВС, параллельная ВС, а значит и равная её половине. Отсюда периметр искомого треугольника равен полупериметру периметра АВС на основании того, что стороны треугольников можно разделить на пары, в каждой из которых сторона треугольника АВС будет вдвое больше стороны треугольника DEF.

Ответ: 64/2=32 см.

3. Известно, что биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются под прямым углом. 

По теореме Пифагора ВС=10 см.

Угол АВМ=СВМ=АМВ, т.к. углы накрест лежащие при параллельных прямых. Значит, АМ=АВ=СД.

Аналогично СД=МД. Значит, АВ=ВС/2, АВСД=2*ВС+2*ВС/2=3*ВС=30 см.

Ответ: 30 см.

4. Диаметр АВ равен 2кор(2), хорда ВС - 2кор(2)/3. Проведём АС. По теореме Пифагора:

АС^2=8-8/9;

AC^2=64/9;

AC=8/3.

Центр окружности О, ОМ - искомое расстояние. Т.к. угол АСВ опирается на диаметр, то он равен 90 градусов. Расстояние до прямой есть перпендикуляр до этой прямой. Значит, ОМ параллельно АС, а АО=ОВ, а отсюда следует, что ОМ - средняя линия треугольника АВС. Значит, ОМ= АС/2=4/3.

Ответ: 4/3. 

Answer 2

1. Докажем от противного, что угол не может быть острый. Пусть угол АОВ острый, тогда точка М лежит внутри круга, а значит, угол АМВ тоже острый. Но угол АМВ является внешним для угла АВС, что противоречит тому, что внешний угол треугольника больше любого из его внутренних углов. Значит, угол АОВ тупой.

2. Заметим, что треугольники AED и ABC подобны соответственно по двум углам, так как угол А и угол АЕF прямые. Значит, соотношение сторон в этих треугольниках будет пропорционально: AE/AB = AD/AC = DE/BC = 1/2 Отсюда можем найти DE = BC/2 и AD = AC/2, так как известен периметр ABC. Теперь можем найти стороны треугольника DEF: DF = DE + EF = BC/2 + AB/2 DE = BC/2 EF = AE/2 Таким образом, DF + EF + DE = BC/2 + AB/2 + AE/2 = (AB + BC + AC)/2 = 64/2 = 32 Значит, периметр треугольника DEF равен 32 см.

3. Заметим, что треугольник BCM подобен треугольнику DMA по двум углам, так как угол B и угол CMD прямые. Значит, соотношение сторон в этих треугольниках будет пропорционально: BM/DM = BC/AD Отсюда можем найти BM = 12 и DM = 8. Так как точка М лежит на биссектрисе угла С, то CM/DM = CB/BD, откуда CB = 9. Тогда периметр параллелограмма ABCD равен 2(AB + BC) = 2(2BM) + 2CB = 48 см.

4. Пусть O - центр окружности, AB - диаметр окружности, а CD - искомая хорда. Так как AB = 2√2, то CD = 2√2/3. Заметим, что треугольники AOC и BOD равнобедренные соответственно, так как у них по две равные стороны (радиусы окружности) и углы при основании равны 90 градусам. Тогда можно провести высоту из O на CD, которая будет также являться медианой и биссектрисой, и делить CD поп