Question

докажите, что в произвольном треугольнике прямые , проходящие через вершины и делящие периметр треугольника пополам, пересекаются в одной точке.

Answer 1

Я тоже тут отмечусь, уж простите :)
Треугольник ABC, стороны (противолежащие углам) a, b, c,
Точка K делит сторону BC = a на отрезки CK = x и BK = a - x;
Точка M делит сторону AC = b на отрезки AM = y и CM = b - y;
Точка N делит сторону AB = c на отрезки BC = z и AC = c - z;
Получается из условия деления периметра пополам
b + x = c + a - x; x = (c + a - b)/2 = p - b; CK = p - b;
где p - полупериметр ABC; p  = (a + b + c)/2;
a - x = BK = p - c;
Аналогично
AM = p - c; CM = p - a;
BN = p - a; AN = p  - b;
То есть AN*BK*CM/(BN*AM*CK) = (p - b)*(p - c)*(p - a)/((p - a)*(p - c)*(p - b)) = 1;
Остается сослаться на обратную теорему Чевы.

Answer 2

Для начала, обозначим треугольник ABC, где AB, BC и AC - стороны треугольника, P - периметр треугольника (то есть сумма длин сторон), и точки пересечения прямых, проходящих через вершины и делящих периметр на две части, будем обозначать как D, E и F, как показано на рисунке ниже:

bashCopy code
       A
      / \
     /   \
  F /_____\
   /\     /\
  /  \   /  \
 /____\ /____\
B      E      C

Заметим, что прямые, проходящие через вершины треугольника и делящие периметр на две равные части, делят каждую из сторон треугольника на две равные части. Таким образом, мы можем записать:

BD = DC = s - AB CE = EA = s - BC AF = FB = s - AC

где s - полупериметр треугольника, равный половине периметра: s = P/2.

Рассмотрим теперь отношение длины стороны треугольника к длине соответствующего ей отрезка, на который эта сторона делится прямой, проходящей через соответствующую вершину. Например, для стороны AB и отрезка DF мы можем записать:

AB/DF = (s-BC)/(s-AC)

По аналогии, для стороны BC и отрезка DE мы получаем:

BC/DE = (s-AC)/(s-AB)

И для стороны AC и отрезка EF:

AC/EF = (s-AB)/(s-BC)

Путем алгебраических преобразований можно убедиться, что эти три отношения равны между собой:

AB/DF = BC/DE = AC/EF

Это означает, что точки D, E и F лежат на одной прямой, которая называется линией Симсона треугольника ABC.

Таким образом, мы доказали, что прямые, проходящие через вершины треугольника и делящие периметр на две равные части, пересекаются в одной точке, которая лежит на линии Симсона треугольника ABC.