Question

Биссектриса угла B треугольника ABC пересекает окружность, описанную около этого треугольника, в точке К. Найдите углы треугольника АКС, если угол АBC равен 80 градусов. 

Answer 1

Эту задачу невозможно решить, нужно чтобы АВ =ВС=АВ . Тогда треугольники АВК = СВК. углы АКВ = ВКС. Угол А = углу С. А так как треугольники равнобедренные то углы : С,А,АВК,ВКС. 360 = 80+ 4 х.    4х=280 х=70 градусов. А угол АКС= 140

 

 

Answer 2

Пусть $O$ - центр окружности, описанной около треугольника $ABC$. Так как $K$ - точка пересечения биссектрисы угла $B$ с окружностью, то $KB=KC$ и $\angle KBC=\angle KCB$.

Также, так как $O$ - центр окружности, то $AB=BC$ и $\angle ABC=80^\circ$, значит, $\angle BAC=\angle BCA=50^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $AKC$. В нем мы знаем два угла: $\angle AKC=2\angle ABC=160^\circ$ (так как это угол, опирающийся на дугу $AC$), а также $\angle KAC=\angle BAC=50^\circ$. Найдем третий угол:

$\angle AKB=360^\circ-\angle AKC-\angle BKC=360^\circ-160^\circ-2\angle KBC=200^\circ-2\angle KCB.$

Но так как $\angle KCB=\angle KCA$ (по свойству биссектрисы), то $\angle AKB=200^\circ-2\angle KCA$.

Теперь рассмотрим треугольник $AKS$, где $S$ - точка пересечения отрезка $AC$ с отрезком $KB$. В этом треугольнике мы знаем два угла: $\angle AKS=180^\circ-\angle KAC-\angle KAS=80^\circ$ (так как $\angle KAC=50^\circ$) и $\angle KSA=\angle KSB=\frac{1}{2}\angle AKB=\frac{1}{2}(200^\circ-2\angle KCA)=100^\circ-\angle KCA$. Значит, третий угол равен:

$\angle ASK=180^\circ-\angle AKS-\angle KSA=180^\circ-80^\circ-(100^\circ-\angle KCA)=\angle KCA=\frac{1}{2}\angle AKB=100^\circ-\frac{1}{2}\angle ASK.$

Отсюда получаем уравнение:

$\angle ASK=2\cdot\left(100^\circ-\frac{1}{2}\angle ASK\right),$

которое можно решить и найти, что $\angle ASK=120^\circ$.

Таким образом, углы треугольника $AKS$ равны: $\angle AKS=80^\circ$, $\angle ASK=120^\circ$, $\angle KSA=180^\circ-80^\circ-120^\circ=20^\circ$.