Question

В треугольнике ABC сторона AB=c, угол BAC=a, R-радиус описанной окружности. Найти все стороны и углы этого треугольника.

Answer 1

AB=c, ∠A=a

По теореме синусов
BC/sin(a) = AC/sin(B) = c/sin(C) =2R

BC= 2R sin(a)

sin(C)= c/2R <=> ∠C= arcsin(c/2R)

∠B= 180° -a -arcsin(c/2R)

AC= 2R sin(B) =
2R sin(a +arcsin(c/2R)) =
2R ( sin(a)cos(arcsin(c/2R)) + cos(a)sin(arcsin(c/2R)) ) =
2R ( sin(a)√(1 -c^2/4R^2) + cos(a)c/2R ) =
sin(a)√(4R^2-c^2) + cos(a)c

Answer 2

Можно использовать тригонометрические соотношения для нахождения сторон и углов треугольника ABC. Для начала определим стороны треугольника:

AB = c (дано)

AC = 2R sin(a) (теорема синусов)

BC = 2R sin(b) (теорема синусов)

где b - угол, противолежащий стороне BC.

Теперь, чтобы найти углы, мы можем использовать закон косинусов:

cos(a) = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc)

cos(b) = (a^2 + c^2 - b^2) / (2ac)

cos(c) = (a^2 + b^2 - c^2) / (2ab)

Отсюда можно найти углы a, b и c, используя обратную функцию косинуса (арккосинус). Таким образом, стороны и углы треугольника ABC будут:

AB = c

AC = 2R sin(a)

BC = 2R sin(b)

a = arccos((b^2 + c^2 - a^2) / (2bc))

b = arccos((a^2 + c^2 - b^2) / (2ac))

c = arccos((a^2 + b^2 - c^2) / (2ab))