Question

Диагональ прямоугольника образует угол 50° с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

Answer 1

пусть ∠ВАО=50°. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, значит АО=ОВ = > ∆АОВ равнобедренный = > ∠АВО=∠ВАО=50°. тогда по теореме о сумме углов треугольника ∠АОВ=180–50–50=80°

Answer 2

Пусть диагональ прямоугольника имеет длину $d$, а его стороны - $a$ и $b$. Тогда по определению тангенса, тангенс угла между диагональю и стороной равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

$\tan(50^\circ) = \frac{a}{d}$

Решая это уравнение относительно $a$, получаем:

$a = d\tan(50^\circ)$

Так как противоположные стороны прямоугольника равны, то $b = \frac{d}{\tan(40^\circ)}$.

Для нахождения острого угла между диагоналями, нам нужно найти тангенс этого угла. Это можно сделать, рассмотрев два треугольника, образованные диагоналями и боковыми сторонами прямоугольника. Обозначим острый угол между диагоналями буквой $\alpha$.

В треугольнике с гипотенузой $d$, одним из углов $50^\circ$ и катетом $a$, по теореме косинусов:

$d^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(90^\circ - \alpha)$

Подставляя найденные выражения для $a$ и $b$, получаем:

$d^2 = d^2\tan^2(50^\circ) + \frac{d^2}{\tan^2(40^\circ)} - 2d^2\tan(50^\circ)\cot(\alpha)$

$\cot(\alpha) = \frac{1}{2}\left(\tan(50^\circ)\cot(40^\circ) - \tan(40^\circ)\cot(50^\circ)\right)$

Таким образом,

$\tan(\alpha) = \frac{1}{\cot(\alpha)} = \frac{2}{\tan(50^\circ)\cot(40^\circ) - \tan(40^\circ)\cot(50^\circ)} \approx 33.32^\circ$

Ответ: $\approx 33.32^\circ$.