Question

Точки A(1;3;-2), B(-3;3;-2), C(-1;4;-2),M(-1;3;2) являются вершинами пирамиды MABC.Найти радиус шара, описанного вокруг данной пирамиды

Answer 1

Да, можно это задание решать с помощью системы уравнений.

Но заданные координаты точек позволяют упростить решение.

Точки А. В и С имеют одинаковые координаты по оси Oz, значит, они лежат в горизонтальной плоскости, параллельной  хОу.

Значит, центр окружности, описанной около треугольника АВС, лежит на одной вертикали с центром шара.

Радиус описанной окружности  

R = AB*AC*BC .  

             4*S

Расчет длин сторон:    

АВ (с) = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) = √16 =  4.

BC (а)= √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²) = √5  ≈ 2,2361.

AC (в) = √((Хc-Хa)²+(Ус-Уa)²) = √5  ≈  2,2361.

Площадь треугольника ABC      

S=(1/2)*|(Хв-Ха)*(Ус-Уа)-(Хс-Ха)*(Ув-Уа)| = 2.

Получаем R(ABC) = (4*√5*√5)/(4*2) = 20/8 = 5/2 = 2,5.

Центр (точка О1) имеет ординату 4 - 2,5 = 1,5.

Так как основание - равнобедренный треугольник (АС = ВС), то точки С, М и О лежат в одной плоскости, перпендикулярной АВ.

Между точками С и М расстояние по вертикали 4 ед., по горизонтали 1 ед. СМ = √(16 + 1) = √17.

Центр О шара равно удалён от С и М, то есть лежит на пересечении перпендикуляра к середине СМ (пусть это точка К) с вертикалью ОО1 через центр О1 описанной окружности АВС.

Координаты точки К = ((-1+(-1)/2=-1; (4+3)/2=3,5; (-2+2)/2=0)

К = (-1; 3,5; 0).

Проекция КО на горизонталь равна 3,5 - 1,5 = 2.

По вертикали из подобия имеем 2*(1/4) =  1/2.

Длина ОК = √(2² + (1/2)²) = √(4 + (1/4)) = √17/2.

То есть, радиус МО  - это гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника.

Получаем: R = (√17/2)*√2 = √34/2.  

Answer 2

Чтобы найти радиус описанной сферы пирамиды MABC, необходимо найти длину отрезка, соединяющего центр описанной сферы с любой вершиной пирамиды. Также известно, что этот отрезок является радиусом описанной сферы. Мы можем найти координаты центра описанной сферы, используя уравнение плоскости, проходящей через три вершины пирамиды MABC.

Найдем уравнение плоскости, проходящей через три вершины пирамиды MABC. Для этого используем формулу общего уравнения плоскости:

Ax + By + Cz + D = 0

где A, B, C и D - коэффициенты, которые мы должны найти.

Сначала найдем векторное произведение двух векторов, лежащих на плоскости MAB:

AB = B - A = (-3-1; 3-3; -2-(-2)) = (-4; 0; 0) AM = M - A = (-1-1; 3-3; 2-(-2)) = (-2; 0; 4) n = AB × AM = (-4; 0; 0) × (-2; 0; 4) = (0; 16; 0)

n = (0, 16, 0) - нормальный вектор к плоскости MAB.

Теперь найдем уравнение плоскости MAB, используя точку A и нормальный вектор n:

0(x-1) + 16(y-3) + 0(z-(-2)) = 0 16(y-3) = -x + 2z - 16 y = (-1/16)x + (1/2)z + 3

Аналогично, найдем уравнения плоскостей MAC и MBC:

MAC: y = (-1/16)x + (1/2)z + 2 MBC: y = (-1/16)x + (1/2)z + 4

Теперь найдем точку пересечения трех плоскостей, являющуюся центром описанной сферы. Для этого решим систему уравнений:

{-1/16x + 1/2z + 3 = y -1/16x + 1/2z + 2 = y -1/16x + 1/2z + 4 = y}

Выразим x через z из первого и второго уравнения системы:

-1/16x + 1/2z + 3 = -1/16x + 1/2z + 2 1 = x/8 x = 8

-1/16x + 1/2z + 3 = -1/16(8) +