Question

Катеты прямоугольного треугольника равны 40 см и 30 см, найдите периметр этого треугольника и радиус вписанной в него окружности.

Answer 1

Катеты 30 и 40, значит гипотенуза 50 ("египетский треугольник", полезно запомнить, 3^2 + 4^2 = 5^2); Радиус вписанной окружности считается такr = (30 + 40 - 50)/2 = 10; рисунок я так добавил, для красоты :)))) Из него, кстати, сразу понятно, как получается формула для r(главное - сообразить, что CEDF - квадрат, и теперь, если обозначить AG = x, GB = y, то ПО СВОЙСТВУ КАСАТЕЛЬНЫХ К ОКРУЖНОСТИ ИЗ ОДНОЙ ТОЧКИ длины сторон будутa = x + r; b = y + r; c = x + y;отсюда получается, чтоa + b - c = 2*r;)

Answer 2

Для начала, найдем длину гипотенузы, используя теорему Пифагора:

$a^2 + b^2 = c^2$, где $a$ и $b$ - катеты, а $c$ - гипотенуза.

Заменяем значения катетов:

$40^2 + 30^2 = c^2$

$1600 + 900 = c^2$

$2500 = c^2$

$c = \sqrt{2500} = 50$

Теперь, чтобы найти периметр, нужно просто сложить длины всех сторон:

$P = a + b + c = 40 + 30 + 50 = 120$ см

Чтобы найти радиус вписанной в треугольник окружности, воспользуемся формулой:

$r = \frac{A}{p}$, где $A$ - площадь треугольника, а $p$ - его полупериметр.

Найдем сначала площадь треугольника, используя формулу:

$A = \frac{1}{2}ab$, где $a$ и $b$ - катеты.

$A = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 30 = 600$ кв.см

Теперь найдем полупериметр:

$p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{40 + 30 + 50}{2} = 60$ см

Наконец, подставим значения $A$ и $p$ в формулу для радиуса вписанной окружности:

$r = \frac{A}{p} = \frac{600}{60} = 10$ см

Ответ: периметр равен 120 см, радиус вписанной в треугольник окружности равен 10 см.