Question

На стороне BC ромба ABCD выбрана точка K так, что AK=BD. Оказалось, что ∠KAD=3∠BDK. Найдите угол ABC

Answer 1

Противоположные стороны параллелограмма параллельны, ABKD - трапеция.

Диагонали равны (AK=BD) - трапеция равнобедренная.

Равнобедренную трапецию можно вписать в окружность.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.

∠KAD=∪KD/2

∠BDK=∪BK/2

∠BDK=∠KAD/3 => ∪BK =∪KD/3

Смежные стороны ромба равны, AB=AD.

Боковые стороны равнобедренной трапеции равны, AB=KD.

Равные хорды стягивают равные дуги.

∪AB=∪AD=∪KD

∪AB+∪BK+∪KD+∪AD =360 => 10/3 ∪KD =360 => ∪KD=108

∠ABK =(∪AD+∪KD)/2 =∪KD =108

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами ромба и теоремой синусов. Обозначим угол ABC через α.

Так как ABCD – ромб, то углы ABC и ADC равны между собой: ∠ABC = ∠ADC = α.

Также, так как AK = BD, то треугольники ABK и BCD подобны, и мы можем записать соотношение между их сторонами:

AK/AB = BD/BC

Так как AK = BD, то это равносильно AB/BC = 1/2.

Из теоремы синусов для треугольника ABD:

sin(∠ABD) / AK = sin(∠BAD) / BD

sin(∠ABD) / BD = sin(∠BAD) / AK

Так как ∠KAD = 3∠BDK, то ∠BAD = ∠KAD + ∠KAB = 4∠BDK. Подставляем это в предыдущее уравнение:

sin(∠ABD) / BD = sin(4∠BDK) / AK

sin(∠ABD) / BD = 4sin(∠BDK)cos(∠BDK) / AK

Так как BD = AK, то это равносильно sin(∠ABD) = 4sin(∠BDK)cos(∠BDK) / BD.

Из теоремы синусов для треугольника BCD:

sin(∠BCD) / BD = sin(∠CBD) / BC

sin(∠BCD) = sin(α) sin(∠CBD)

Таким образом, мы получили два уравнения:

sin(∠ABD) = 4sin(∠BDK)cos(∠BDK) / BD

sin(∠BCD) = sin(α) sin(∠CBD)

Выразим sin(∠BDK) из первого уравнения:

sin(∠BDK) = sin(∠ABD) BD / (4cos(∠BDK))

sin(∠BDK) = 2sin(∠ABD) BD / (2cos(∠BDK))

sin(∠BDK) = 2sin(∠ABD) BD / (1 + sin(∠BDK))

sin(∠BDK) (1 + sin(∠BDK)) = 2sin(∠ABD) BD

sin²(∠BDK) + sin(∠BDK) - 2sin(∠ABD) BD / 2 = 0

(sin(∠BDK) - 1/2)(sin(∠BDK) + 2BD/sin(∠BDK)) = 0

sin(∠BDK) = 1/2 или sin(∠BDK) = -2BD/sin(∠BDK)

Первое уравнение соответствует углу ∠BDK = 30°, второе уравнение не имеет решений, так как |sin(