Question

Диагональное сечение правильной четырехугольной пирамиды - правильный треугольник, площадь которого равна 9√3 см². Вычислить площадь основания пирамиды.

Answer 1

Решение в приложении.

Answer 2

Пусть $ABCD$ - вершины пирамиды, где $ABCD$ - правильная четырехугольная пирамида с основанием $ABCD$, а $M$ - середина ребра $AB$. Так как диагональное сечение пирамиды является правильным треугольником, то $AM = BM = CM$.

Из соображений симметрии основания, точка $M$ лежит в центре основания пирамиды, следовательно, отрезок $MD$ является высотой треугольника $ABC$. Таким образом, $S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot MD \cdot AB$.

Из условия задачи, $S_{\triangle ABC} = 9\sqrt{3} \text{ см}^2$. Для вычисления $AB$ и $MD$ рассмотрим правильный треугольник $ABC$ и найдем его сторону $a$:

$$S_{\triangle ABC} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3} \Rightarrow a^2 = 36 \Rightarrow a = 6$$

Теперь мы можем найти высоту $MD$:

$$MD = \frac{a\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$$

И площадь основания пирамиды:

$$S_{ABCD} = S_{\triangle ABC} \cdot \frac{4}{\sqrt{3}} = 36\sqrt{3}$$

Таким образом, площадь основания пирамиды равна $36\sqrt{3} \text{ см}^2$.