Question

Дан равнобедренный треугольник abc с основанием ac у которого ВС=8 см, угол А : углу В=1:4найдите площадь треугольника АВС

Answer 1

Ответ:

16√3 см²

Объяснение:

Дано: ΔАВС - равнобедренный, ВС=АВ=8 см.

∠А/∠В=1/4.

Найти S(АВС).

Пусть ∠А=∠С=х° т.к. у равнобедренного треугольника углы при основании равны

Тогда ∠В=4х°.

Проведем высоту ВН, которая является и биссектрисой ∠В по свойству высоты равнобедренного треугольника.

Тогда ∠АВН=1/2 ∠В=2х°

Рассмотрим ΔАВН - прямоугольный, ∠А+∠АВН=90° по свойству острых углов прямоугольного треугольника. Составим уравнение:

х+2х=90;   3х=90;   х=30.  ∠А=30°, тогда ВН=1/2 АВ = 8:2=4 см по свойству катета, лежащего против угла 30 градусов.

По теореме Пифагора АН=(√АВ²-ВН²)=√(64-16)=√48=4√3 см.

АС=2 АН=4√3 * 2 = 8√3 см

S(АВС)=1/2 * АС * ВН = 1/2 * 8√3 * 4 = 16√3 см²

Answer 2

Из условия задачи известно, что треугольник ABC равнобедренный с основанием AC и углом А : углу В = 1:4. Обозначим угол А через α. Тогда угол В равен 4α.

Так как треугольник ABC равнобедренный, то угол А и угол В являются основными. Из свойств равнобедренного треугольника следует, что угол А и угол В равны между собой по величине, то есть α = 4α / 4, следовательно α = 20°, а угол В = 4α = 80°.

Так как треугольник ABC равнобедренный, то высота, опущенная на его основание AC, является медианой и биссектрисой одновременно. Так как медиана делит основание на две равные части, то ВС = СB = 8 см / 2 = 4 см.

Рассмотрим треугольник AВС. Высота треугольника АВС, опущенная из вершины А на основание AC, будет проходить через середину ВС и образует прямой угол с основанием AC.

Таким образом, площадь треугольника АВС равна половине произведения основания AC и высоты, то есть

S(АВС) = 1/2 * AC * AH,

где AH - высота, опущенная из вершины А на основание AC.

Для нахождения высоты AH рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. Из свойств прямоугольного треугольника следует, что угол ВНА равен углу ВАС.

Так как угол ВАС равен половине основного угла В, то он равен 40°. Следовательно, угол ВНА также равен 40°. Так как углы треугольника ABH равны 90°, 40° и 50°, то он является треугольником 7-24-25.

Таким образом, AB = 7 см, BH = 24 см и AH = 25 см. Из теоремы Пифагора следует, что AC = 2 * BH / √5 = 2 * 24 / √5 = 19,1 см.

Теперь можем найти площадь треугольника АВС:

S(АВС) = 1/2 * AC * AH = 1/2 * 19,1 см * 25 см = 238,75 см².

Ответ: п