Question

Допоможіть будь ласка!! Точка S віддалена від площина трикутника АВС на 12 см і рівновіддалена від його вершин.Обчисліть відстань від точки S до вершин трикутника,якщо його сторони дорівнюють 4 см,8 см,6 см.

Answer 1

Точку S переименую в точку М (в формулах появится величина S - площадь треугольника)
пирамида МABC.
по условию точка М отдалена на одинаковом расстоянии от всех вершин треугольника АВС, => высота  МО=12 см проектируется в центр описанной около треугольника окружности
радиус описанной около треугольника окружности вычисляется по формуле:
$R= \frac{a*b*c}{4S} S= \sqrt{p*(p-a)*(p-b)*(p-c)}$
$p= \frac{a+b+c}{2} , p= \frac{4+6+8}{2} , p=9$
$S= \sqrt{9*(9-4)*(9-6)*(9-8)} =3 \sqrt{15}$
$R= \frac{4*6*8}{4*3 \sqrt{15} } , R= \frac{16}{ \sqrt{15} }$
прямоугольный ΔАОМ:
катет R=16/√15
катет ОМ=12 -высота пирамиды (расстояние от точки М до плоскости треугольника АВС)
гипотенуза АМ -расстояние от точки М до вершины треугольника,  найти по теореме Пифагора:
АМ²=АО²+ОМ²
$AM ^{2} =( \frac{16}{ \sqrt{15} } ) ^{2}+12 ^{2}$
$AM ^{2} = \frac{256}{15} +144$
$AM= \sqrt{ \frac{2416}{15} }, AM=4 \sqrt{ \frac{151}{15} }$

Answer 2

Для розв'язання цієї задачі ми можемо скористатися теоремою Піфагора та формулою для висоти трикутника.

Спочатку ми знайдемо площу трикутника АВС за допомогою формули Герона:

$s = \frac{1}{2}(4 + 8 + 6) = 9$

$S_{\triangle ABC} = \sqrt{s(s-4)(s-8)(s-6)} = \sqrt{9\cdot5\cdot1\cdot3} = 3\sqrt{15}$

Тепер ми можемо знайти висоту трикутника, опущену на сторону АВ, за допомогою формули:

$h_{AB} = \frac{2S_{\triangle ABC}}{AB} = \frac{2\cdot3\sqrt{15}}{4} = \frac{3\sqrt{15}}{2}$

Аналогічно, ми можемо знайти висоти трикутника, опущені на сторони ВС та АС:

$h_{BC} = \frac{2S_{\triangle ABC}}{BC} = \frac{2\cdot3\sqrt{15}}{6} = \frac{\sqrt{15}}{2}$

$h_{AC} = \frac{2S_{\triangle ABC}}{AC} = \frac{2\cdot3\sqrt{15}}{8} = \frac{3\sqrt{15}}{4}$

За умовою задачі, точка S рівновіддалена від вершин трикутника АВС, тому відстань від точки S до основ трикутника дорівнює висотам трикутника, що опущені на ці основи. Таким чином, відстані від точки S до вершин трикутника дорівнюють:

$d_{A} = h_{BC} + 12 = \frac{\sqrt{15}}{2} + 12 \approx 12.87\text{ см}$

$d_{B} = h_{AC} + 12 = \frac{3\sqrt{15}}{4} + 12 \approx 13.33\text{ см}$

$d_{C} = h_{AB} + 12 = \frac{3\sqrt{15}}{2} + 12 \approx 15.20\text{ см}$

Отже, відстань від точки S до вершин трикутника дорівнює близько 12.87 см, 13.33 см та 15.20 см для вершин А, В та С відповідно.