Question

Периметр правильного многоугольника равен 42 см, а его площадь – 210 см 2 . Найдите радиус вписанной окружности.

Answer 1

Ответ:

10 см

Объяснение:

Так как тангенс угла π/n, где n - число сторон многоугольника, равен tg(π/n) = (n*a²)/4*S = P²/(4*n*S) =42²/(4*210*n) = 2,1/n, квадрат радиуса вписанной окружности равен r² = S/(n*tg(π/n)) = 210/2,1 = 100. Следовательно, искомый радиус вписанной окружности равен √100 = 10 см.

Answer 2

Для правильного многоугольника радиус вписанной окружности связан с его периметром и площадью следующим образом:

$r = \frac{P}{2 \cdot \pi \cdot \tan(\frac{\pi}{n})}$

где $n$ - количество сторон в многоугольнике.

В данном случае нам дан периметр $P=42$ см и площадь $S=210$ см$^2$, но не дано количество сторон $n$.

Мы можем найти количество сторон, используя следующую формулу для площади правильного многоугольника:

$S = \frac{1}{2} \cdot P \cdot r$

Подставляя известные значения, получаем:

$210 = \frac{1}{2} \cdot 42 \cdot r \cdot n$

$5 = r \cdot n$

Теперь мы можем выразить радиус вписанной окружности через количество сторон:

$r = \frac{5}{n}$

Подставляя это выражение в первоначальную формулу, получаем:

$\frac{5}{n} = \frac{42}{2 \cdot \pi \cdot \tan(\frac{\pi}{n})}$

Решать эту уравнение в общем случае сложно, но мы можем заметить, что при больших $n$ значение $\tan(\frac{\pi}{n})$ стремится к 0, а значит, правая часть уравнения также стремится к 0. При этом левая часть остается постоянной, равной $\frac{5}{n}$. Это означает, что для достаточно большого $n$ (например, $n=10^6$), радиус вписанной окружности будет близок к $\frac{5}{n}$, т.е.

$r \approx \frac{5}{n}$

Таким образом, мы можем считать, что радиус вписанной окружности равен:

$r \approx \frac{5}{n} = \frac{5}{6} \text{ см} \approx 0.83 \text{ см}$

Ответ: радиус вписанной окружности примерно равен 0.83 см.