Question

Точка перетину бісектрис гострих кутів при більшій основі трапеції належить її меншій основі. Знайти площу трапеції, якщо її бічні сторони дорівнюють 13 см і 20 см, а висота - 12 см.

Answer 1

Розв*язання:
∠ВАЕ=∠ЕАН за умовою, ∠АЕВ=∠ЕАН як внутрішні при паралельних прямих, тоді ∠АЕВ=∠ВАЕ і ΔАВЕ - рівнобедрений.
Отже ВЕ=АВ=13 см.
∠НДЕ=∠ЕДС за умовою, ∠НДЕ=∠СЕД як внутрішні при паралельних прямих, тоді ∠СЕД=∠ЕДС і ΔЕСД - рівнобедрений.
Отже ЕС=ЕД=20 см.
ВС=ВЕ+ЕС=13+20=33 см.
ВК=СМ=12 см.
Розглянемо ΔАВК. АК=√(13²-12²)=√(169-144)=√25=5 см.
Розглянемо ΔСМД. МД=√(20²-12²)=√(400-144)=√256=16 см.
КМ=ВС=33 см; АД=5+33+16=54 см.
S=(33+54):2*12=528 cм².

Answer 2

Означимо через $AB$ та $CD$ меншу та більшу основи трапеції $ABCD$ відповідно, а через $E$ - точку перетину бісектрис кутів $A$ та $B$.

За умовою задачі точка $E$ лежить на відрізку $CD$.

Позначимо $AE = x$, $BE = y$, тоді $CE = 20-x$ та $DE = 13-y$.

З теореми про бісектриси відомо, що $\frac{AE}{CE} = \frac{BE}{DE}$. Підставляючи вирази для $AE$, $BE$, $CE$, $DE$, отримаємо:

$\frac{x}{20-x} = \frac{y}{13-y}$

Розв'язавши це рівняння відносно $y$, отримаємо:

$y = \frac{260x}{33x+20}$

Тепер можна знайти площу трапеції $ABCD$:

$S = \frac{(AB+CD)h}{2} = \frac{(13+20)(12)}{2} = 198 \text{ см}^2$