Question

диагональ прямоугольника с его стороной образует угол 36°. найдите величину угла , образованного диагоналями и расположенного против меньшей стороны прямоугольника.

Answer 1

Рассмотрим прямоуг АВСД    где АД больная сторона О пересечение диагоналей тогда угол ОАДпо условию равен 36° нужно найти угол ВОА
рассмотрим треуг АОД он равнобедренный тогда угол АОД=180-2*36=180-72=108
тогда угол ВОА=180-108=72

Answer 2

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$, где $a > b$. Тогда диагональ $d$ равна $\sqrt{a^2 + b^2}$.

Так как диагональ с одной из сторон образует угол 36°, то мы можем записать:

$\tan 36° = \frac{b}{a}.$

Так как тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему, то мы можем выразить $b$ через $a$:

$b = a\tan 36°.$

Тогда диагональ $d$ будет равна:

$d = \sqrt{a^2 + (a\tan 36°)^2} = a\sqrt{1 + \tan^2 36°}.$

Теперь мы можем найти синус угла между диагоналями:

$\sin\theta = \frac{b}{d} = \frac{a\tan 36°}{a\sqrt{1 + \tan^2 36°}} = \frac{\tan 36°}{\sqrt{1+\tan^2 36°}}.$

Используя тригонометрическую формулу $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$, мы можем найти значение угла $\theta$:

$\sin\theta = \frac{2\sin\theta\cos\theta}{2\cos\theta} = \frac{\sin 2\theta}{2\cos\theta}.$

Тогда:

$\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta = \frac{\tan 36°}{\sqrt{1+\tan^2 36°}} \cdot \frac{\sqrt{1+\tan^2 36°}}{1+\tan^2 36°} = \frac{\tan 36°}{1+\tan^2 36°}.$

Теперь мы можем найти значение угла $\theta$:

$\theta = \frac{1}{2}\arcsin\left(\frac{\tan 36°}{1+\tan^2 36°}\right) \approx 28.07°.$

Ответ: угол, образованный диагоналями и расположенный против меньшей стороны прямоугольника, составляет примерно 28.07°.