Question

Биссектриса прямого угла биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника делит гипотенузу на 2 равные части причем длина биссектрисы равна половине гипотенузы найти углы этого прямоугольного треугольника

Answer 1

Т.к. АН биссектриса, то делит угол А пополам, следовательно угол НАС=90/2=45 град. Если в треугольнике сумма всех углов равна 180 град, то угол В=180 - (90+45) = 45 град. Ответ: угол В=45 град, угол А=90 град, угол С=45 град.

Answer 2

Пусть $ABC$ - прямоугольный треугольник, прямой угол которого находится при вершине $C$. Пусть $CD$ - биссектриса угла $C$, где $D$ - точка на гипотенузе $AB$, делит ее на две равные части. Тогда $CD$ является медианой и высотой прямоугольного треугольника $ABC$, а также биссектрисой угла $C$.

Так как $CD$ делит гипотенузу $AB$ на две равные части, то $AD = DB$. Обозначим $AC = b$ и $BC = a$. Тогда $AD = DB = \frac{c}{2}$, где $c$ - гипотенуза треугольника $ABC$.

Так как $CD$ является биссектрисой угла $C$, то угол $ACD$ равен углу $BCD$. Пусть этот угол равен $\alpha$. Тогда углы $ACB$ и $ABC$ равны $2\alpha$, так как они смежные с углом $ACD$.

Используя теорему синусов в треугольнике $ACD$, получим:

$\frac{c/2}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(2\alpha)}$

$\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) = \frac{b}{c/2} = \frac{2b}{c}$

$\cos(\alpha) = \sqrt{1 - \sin^2(\alpha)} = \sqrt{1 - \frac{4b^2}{c^2}}$

Так как $2\alpha$ - это сумма углов $ACB$ и $ABC$, то:

$2\alpha = \angle ACB + \angle ABC = 90^\circ - \alpha + 90^\circ - \alpha = 180^\circ - 2\alpha$

$\alpha = 45^\circ$

Таким образом, мы получаем, что угол $ACB$ равен $90^\circ$, а углы $ABC$ и $ACB$ равны $45^\circ$.