Question

Периметр параллелограмма АВСД равен 78. Периметр треугольника АВС равен 46. Найдите длину диагонали АС параллелограмма АВСД

Answer 1

78÷2=46 (сумма двух сторон параллелограмма)

46-46=0 УСЛОВИЕ ЗАДАЧИ НЕПРАВИЛЬНОЕ

Answer 2

Обозначим длину стороны параллелограмма $AB$ как $a$, а длину стороны $AD$ как $b$. Тогда по свойствам параллелограмма имеем $AB=CD=a$ и $AD=BC=b$.

Так как периметр параллелограмма равен $78$, то сумма всех его сторон равна $78/2 = 39$. То есть $2a+2b=39$, или $a+b=\frac{39}{2}$.

По условию, периметр треугольника $ABC$ равен $46$, то есть $AB+BC+CA=46$. Заметим, что $AB+BC=a+b$, поэтому $CA=46-(a+b)$.

Теперь рассмотрим треугольник $ACS$. Он является прямоугольным, так как диагональ параллелограмма $AC$ является его высотой, а стороны $AS$ и $CS$ являются катетами. Поэтому, применяя теорему Пифагора, имеем:

$AC^2 = AS^2 + CS^2 = CA^2 + 2\cdot AB^2.$

Заменим $CA$ на $46-(a+b)$ и $AB$ на $a$:

$AC^2 = (46-(a+b))^2 + 2a^2.$

Для нахождения $AC$ возьмём извлечение квадратного корня от обеих сторон этого уравнения:

$AC = \sqrt{(46-(a+b))^2 + 2a^2}.$

Таким образом, длина диагонали $AC$ равна $\sqrt{(46-(a+b))^2 + 2a^2}$. Подставляя значение $a+b=\frac{39}{2}$, получаем:

$AC = \sqrt{(46-\frac{39}{2})^2 + 2a^2} = \sqrt{(\frac{7}{2})^2 + 2a^2} = \frac{\sqrt{49+8a^2}}{2}.$