Question

Две окружности с равными радиусами пересекаются в двух точках. Докажите,что их общая хорда перпендикулярна к отрезку,соединяющему центры окружностей.

Answer 1

Для доказательства нужно из центров окружностей провести отрезки к точкам их пересечения. поскольку окружности равны то и радиусы у них равны.

Т Е мы получили ромб у которого стороны являются радиусами а диагонали это обшая хорда и отрезок соединяющий центры.

Диагонали в ромбе пересекаются под прямым углом. ЧТД

Answer 2

Пусть даны две окружности с радиусом $r$, центры которых расположены в точках $O_1$ и $O_2$, их общая хорда проходит через точки $A$ и $B$, а отрезок, соединяющий центры окружностей, пересекает эту хорду в точке $M$.

Мы можем заметить, что треугольники $O_1MA$ и $O_2MB$ равнобедренные, так как $O_1A = O_1B$ и $O_2A = O_2B$ по построению (из равенства радиусов). Кроме того, $O_1M = O_2M$, так как это отрезок, соединяющий центры окружностей.

Таким образом, у нас есть два равнобедренных треугольника с равными основаниями $O_1M$ и $O_2M$, а значит, они равны между собой по стороне-стороне. В частности, $\angle O_1MA = \angle O_2MB$. Но эти два угла образуют угол, равный сумме углов, которые они дополняют до $180^\circ$ (поскольку каждый из них дополняет угол между прямой, проходящей через центры окружностей, и хордой), то есть они вместе равны $90^\circ$. Следовательно, хорда $AB$ перпендикулярна к отрезку $O_1O_2$.