Question

Убедившись, что точка M (10;− корень из 5)лежит на гиперболе x^2/80 − y^2/20=1, составить уравнения прямых, проходящих через эту точку и фокусы гиперболы.

Answer 1

Для проверки того,  что точка M (10;− корень из 5)лежит на гиперболе x^2/80 − y^2/20=1, надо координаты точки подставить в уравнение гиперболы:
10²/80-5/20 = 100/80-5/20 = 25/20-5/20= 20/20 = 1 - подтверждается.
Общее уравнение пучка прямых, проходящих через заданную точку М(х₀;у₀):
у-у₀ = к(х-х₀).
Подставив значения х и у, получим:
у+√5 = к(х-10).
Координаты фокусов гиперболы определяются параметром с:
с = +-√(а²+в²) = +-√(80-20) = +-√60 = +-2√15 = +-7,74597.

Answer 2

Для начала найдем уравнения гиперболы, используя данные из уравнения x^2/80 − y^2/20=1:

x^2/80 − y^2/20 = 1

Перенесем y^2 на левую сторону:

x^2/80 - 1 = y^2/20

Заменим x на 10 и y на √5:

10^2/80 - 1 = (√5)^2/20

1.25 - 1 = 0.25

Таким образом, точка M действительно лежит на гиперболе.

Фокусы гиперболы можно найти, используя формулу: c^2 = a^2 + b^2, где c - расстояние от центра до фокуса, а и b - длины полуосей.

В данном случае a^2 = 80, b^2 = 20, поэтому c^2 = 80 + 20 = 100, а c = 10.

Фокусы гиперболы находятся на расстоянии c = 10 от центра, а поскольку центр находится в точке (0, 0), фокусы имеют координаты (0, ±10).

Теперь составим уравнения прямых, проходящих через точку M (10, -√5) и фокусы гиперболы:

1. Прямая, проходящая через точку M и фокус (0, 10):

Так как точка (0, 10) лежит на оси y, уравнение прямой будет иметь вид x = 10.

2. Прямая, проходящая через точку M и фокус (0, -10):

Аналогично, так как точка (0, -10) лежит на оси y, уравнение прямой будет иметь вид x = 10.

Таким образом, уравнения прямых, проходящих через точку M и фокусы гиперболы, имеют вид x = 10.