Question

В треугольнике abc угол c=90 ,ch - высота , ac=3 cosA=1\6 найти bh=?

Answer 1

Решение дано на фото.

Answer 2

Для решения задачи нам понадобятся следующие соотношения:

1. Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике гипотенуза равна квадратному корню из суммы квадратов катетов: $a^2 + b^2 = c^2$.

2. Определение косинуса угла: $\cos A = \frac{a}{c}$.

3. Определение высоты треугольника: $S = \frac{1}{2}ch$, где $S$ - площадь треугольника, $c$ - гипотенуза, $h$ - высота, опущенная на гипотенузу.

Используя эти соотношения, мы можем записать следующую систему уравнений:

\begin{equation} \begin{cases} c = 2\sqrt{3}\ \cos A = \frac{1}{6}\ S = \frac{1}{2}ch \end{cases} \end{equation}

Заметим, что по определению косинуса угла $A$, имеем $a = c \cos A = \frac{2\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Таким образом, площадь треугольника можно выразить как $S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot b = \frac{\sqrt{3}}{6}b$.

Подставляя известные значения в третье уравнение системы, получаем $bh = 2S = \frac{\sqrt{3}}{3}b$.

Также из теоремы Пифагора следует, что $a^2 + b^2 = c^2$, то есть $\frac{1}{3} + b^2 = 12$, откуда $b^2 = \frac{35}{3}$ и $b = \sqrt{\frac{35}{3}}$.

Таким образом, мы нашли значение $b$, а значит можем найти искомое $bh$:

$bh = \frac{\sqrt{3}}{3}\cdot\sqrt{\frac{35}{3}} = \frac{\sqrt{35}}{3}\approx 2.04$

Ответ: $bh = \frac{\sqrt{35}}{3}\approx 2.04$.