Question

Найти периметр треугольника abc, если площадь ему подобного треугольника mnp в 25 раз меньше его площади, mn=5, np=4, mp=8

Answer 1

P=√25(5+4+8)=5×17=85

Площади относятся как коэффициент подобия в квадрате. Периметры относятся как коэффициент подобия.

Если будут вопросы - обращайтесь:)

Отметьте, пожалуйста, как лучший ответ, если не сложно ❤️

Answer 2

Для начала найдем стороны треугольника $mnp$, используя теорему Пифагора:

$$mn^2 + np^2 = mp^2 \\ 5^2 + 4^2 = mp^2 \\ mp = \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41}$$

Так как треугольник $mnp$ подобен треугольнику $abc$, то соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны:

$$\frac{ab}{mn} = \frac{bc}{np} = \frac{ac}{mp}$$

Пусть $k$ -- коэффициент пропорциональности, тогда:

$$ab = 5k \\ bc = 4k \\ ac = 8k$$

Площадь треугольника $mnp$ равна:

$$S_{mnp} = \frac{1}{2}mn \cdot np = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 4 = 10$$

Площадь треугольника $abc$ равна:

$$S_{abc} = \frac{1}{4} \cdot \pi \cdot ac^2 = \frac{1}{4} \cdot \pi \cdot (8k)^2 = 2\pi k^2$$

Таким образом, из условия задачи:

$$S_{abc} = 25 \cdot S_{mnp} = 25 \cdot 10 = 250$$

Следовательно:

$$2\pi k^2 = 250 \\ k^2 = \frac{125}{\pi} \\ k = \sqrt{\frac{125}{\pi}}$$

Теперь можно найти стороны треугольника $abc$ и периметр:

$$ab = 5k = 5 \sqrt{\frac{125}{\pi}} \\ bc = 4k = 4 \sqrt{\frac{125}{\pi}} \\ ac = 8k = 8 \sqrt{\frac{125}{\pi}} \\ P_{abc} = ab + bc + ac = 17 \sqrt{\frac{125}{\pi}}$$

Таким образом, периметр треугольника $abc$ равен $17 \sqrt{\frac{125}{\pi}}$.