Question

В треугольнике АВС бисектрисы АА1 и СС1 пересекаются в точке О.  АО=12√3 см, угол ВАС= 120 градусов. Найдите радиус написанного в треугольник АВС окружности.

Answer 1

Решение во вложении...

Answer 2

Чтобы найти радиус окружности, вписанной в треугольник АВС, мы можем воспользоваться формулой для радиуса вписанной окружности, которая выглядит так:

$r = \frac{A}{s}$

где A - площадь треугольника, а s - полупериметр треугольника.

Чтобы вычислить площадь треугольника, нам нужно знать длины его сторон. Заметим, что треугольник АВС равносторонний, так как угол ВАС равен 120 градусов. Значит, все его стороны равны между собой, и мы можем обозначить длину любой из них как a.

Так как бисектрисы АА1 и СС1 пересекаются в точке О, то точка О является центром вписанной окружности. Поэтому отрезки ОА1 и ОС1 являются радиусами этой окружности.

Так как АО = 12√3 см, то ОС = ОА = 12√3 см, так как бисектрисы равны и пересекаются в центре вписанной окружности. Значит, ОС1 = 2ОС = 24√3 см, а ОА1 = 2ОА = 24√3 см.

Теперь мы можем найти полупериметр треугольника АВС:

$s = 3a/2$

А также площадь треугольника:

$A = \sqrt{3}a^2/4$

Подставив эти выражения в формулу для радиуса вписанной окружности, получим:

$r = \frac{\sqrt{3}a^2/4}{3a/2} = \frac{\sqrt{3}a}{6}$

Так как сторона треугольника АВС равна ОА + АВ = 2ОА = 24√3 см, то

$a = 8\sqrt{3}$

Подставив это значение в формулу для радиуса вписанной окружности, получим:

$r = \frac{\sqrt{3}\cdot8\sqrt{3}}{6} = 4\sqrt{3}$

Ответ: радиус вписанной окружности треугольника АВС равен 4√3 см.