Question

В треугольнике ABC сторона AB=13, радиус вписанной окружности равен 10/3, сумма длин сторон AC и BC равна 23. Найти длины сторон AC и BC.

Answer 1

Использованы: формула радиуса окружности, вписанной в треугольник; формула Герона

Answer 2

Обозначим радиус вписанной окружности как r, а полупериметр треугольника ABC как p. Тогда мы знаем, что:

r = 10/3

p = (13 + AC + BC)/2

Также известно, что сумма длин сторон AC и BC равна 23:

AC + BC = 23 - 13 = 10

Мы можем использовать формулу для радиуса вписанной окружности, чтобы найти площадь треугольника ABC:

S = pr

S = (p(10/3))

S = (10p/3)

Также мы можем использовать формулу для площади треугольника ABC, чтобы выразить ее через длины сторон:

S = sqrt(p(p-AB)(p-AC)(p-BC))

Теперь мы можем соединить эти две формулы и выразить AC и BC через p:

(10p/3) = sqrt(p(p-13)(p-AC)(p-BC))

(100p^2/9) = p(p-13)(p-AC)(p-BC)

(100p/9) = (p-13)(p-AC)(p-BC)

100/9 = (p-13)(p-AC)(p-BC)/p

Мы уже знаем, что AC + BC = 10, поэтому мы можем выразить BC через AC:

BC = 10 - AC

Теперь мы можем заменить BC в формуле выше:

100/9 = (p-13)(p-AC)(p-(10-AC))/p

100/9 = (p-13)(p-AC)((p-10)+AC)/p

100/9 = (p-13)(p-AC)(p-10)/p + (p-13)(p-AC)(AC)/p

100/9 = (p-13)(p-AC)(p-10)/p + (p-13)AC

Мы знаем, что p = (13 + AC + BC)/2 и BC = 10 - AC, поэтому мы можем заменить p и BC в формуле выше:

100/9 = ((15-AC)/2-13)((15-AC)/2-AC)((15-AC)/2-10)/(15-AC)/2 + ((15-AC)/2-13)AC

100/9 = (-AC^3 + 37AC^2 - 332AC + 900)/54 + (-AC^2 + 11AC - 39)/2

100/9 = (-2AC^3 + 74AC^2 - 664AC + 1800)/108 + (-27AC^2 + 297AC - 1053)/36

1200 = -16AC^3 + 592AC^2 - 5280AC + 14400 + (-324AC^2 + 3564AC - 12636)/4

4800 = -64AC^3 + 2368AC^2 - 21120AC + 57600 - 81AC^2 + 891AC - 3159

64AC^3 - 2449AC^2 + 22248AC - 51841 = 0