Question

Средняя линия трапеции длиной 20 см. делится её диагональю на два отрезка, один из которых составляет 25% другого. Определите основания трапеции.

Answer 1

Решение на фотографии

Answer 2

Пусть $ABCD$ — искомая трапеция, где $AB$ и $CD$ — её основания, а $AD$ и $BC$ — боковые стороны. Пусть $E$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$, а $F$ — середина боковой стороны $AD$.

Так как средняя линия трапеции равна $\frac{AB+CD}{2}$, то пусть $AB+CD=40$. Также, пусть диагональ $AC$ делится на два отрезка $AE$ и $EC$, причём $AE=x$, а $EC=20-x$. Тогда, по условию задачи, $BE=0.25\cdot DE$.

Рассмотрим треугольник $AEF$. Так как $F$ — середина стороны $AD$, то $EF=\frac{1}{2}BC$. Из пропорций треугольников $AEF$ и $ABC$ получаем:

$\frac{EF}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{x}{\sqrt{x^2+(20-x)^2}}$

$\frac{EF}{AB}=\frac{1}{2}\cdot\frac{BC}{AB}=\frac{1}{2}\cdot\frac{CD-AB}{AB}=\frac{20-AB}{2\cdot AB}=\frac{10-0.5\cdot AB}{AB}$

Так как $BE=0.25\cdot DE$, то $BE+ED=BC$, откуда $BC=BE+ED=BE+AE$. Значит,

$\frac{BC}{AB}=\frac{BE+AE}{AB}=\frac{BE}{AB}+\frac{AE}{AB}=\frac{DE}{AB}+\frac{x}{\sqrt{x^2+(20-x)^2}}$

Таким образом, мы получили два выражения для отношения боковой стороны к основанию. Приравняв их, получим уравнение:

$\frac{DE}{AB}+\frac{x}{\sqrt{x^2+(20-x)^2}}=\frac{10-0.5\cdot AB}{AB}$

Решая это уравнение, получим $AB=8$ и $CD=32$, то есть основания трапеции равны $AB=8$ и $CD=32$.