Question

В треугольнике abc точка m лежит на стороне ab,точка n - на стороне ac . Через точки m, n,b,c проходит окружность радиуса корней из 3.Найдите длину отрезка am,если bc = 3,am:mb=2:1, угол bac=30°

Answer 1

СМОТРИ ФОТО:::::::::::::::

Answer 2

Пусть $AM=x$ и $MB=0.5x$. Тогда, так как $BC=3$, мы можем выразить длины других сторон через $x$: $AB=2x$, $AC=2\sqrt{3}x$, $NC=2\sqrt{3}x-x= x(2\sqrt{3}-1)$.

Заметим, что точки $B$, $C$, $M$ и $N$ лежат на окружности радиуса $\sqrt{3}$, поэтому $BM=CN=\sqrt{3}$. Тогда можно записать уравнения для косинусов углов $BAM$ и $CAN$:

$\cos \angle BAM = \frac{AB^2+AM^2-MB^2}{2\cdot AB \cdot AM} = \frac{5x^2}{4x^2} = \frac{5}{4}$

$\cos \angle CAN = \frac{AC^2+AN^2-CN^2}{2\cdot AC \cdot AN} = \frac{(2\sqrt{3}x)^2+x^2-\sqrt{3}^2}{2\cdot 2\sqrt{3}x \cdot x} = \frac{4x^2-3}{4\sqrt{3}x^2}$

Так как $B$, $C$, $M$ и $N$ лежат на одной окружности, то $\angle BNM = \angle BCM$, и $\angle ANM = \angle CBM$. Заметим также, что $\angle CAB=30^{\circ}$, поэтому $\angle BAM = 150^{\circ}-\angle CAB$ и $\angle CAN = 120^{\circ}+\angle CAB$. Тогда мы можем записать уравнения для косинусов углов $BNM$ и $CNM$:

$\cos \angle BNM = \cos (\angle BAM - \angle CBM) = \cos (150^{\circ}-\angle CAB - \angle BCM) = \sin (\angle CAB + \angle BCM) = \sin 75^{\circ}$

$\cos \angle CNM = \cos (\angle CAN - \angle CBM) = \cos (120^{\circ}+\angle CAB - \angle BCM) = \sin (\angle CAB - \angle BCM) = \sin 15^{\circ}$

Теперь мы можем использовать формулу синуса для треугольника $ABC$:

$\frac{x}{\sin 30^{\circ}} = \frac{2\sqrt{3}x}{\sin 75^{\circ}} + \frac{x(2\sqrt{3}-1)}{\sin 15^{\circ}}$

Решив это уравнение, мы найдем $x$:

$x = \frac{2\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}} = \sqrt{3}-1$

Таким образом, длина отрезка $AM$ равна $x=\boxed{\sqrt{3}-1}$.