Question

Из вершины прямого угла треугольника проведена высота, равная 5. Чему равно произведение проекций катетов на гипотенузу?

Answer 1

Посмотрите предложенное объяснение.

Квадрату высоты, опущенной на гипотенузу. То есть 25.

Подробности на фото во вложении.

Answer 2

Пусть $ABC$ - прямоугольный треугольник с гипотенузой $AC$ и высотой $BH$, где $H$ - точка пересечения высоты с гипотенузой. Пусть $BD$ и $AE$ - катеты треугольника $ABC$, а $BE = x$ и $AD = y$ - проекции катетов на гипотенузу $AC$.

Так как $ABCD$ - прямоугольник, то $BD = AE = \sqrt{AB^2 - BH^2}$. Из подобия треугольников $ABH$ и $ABC$ получаем: $\frac{BH}{BD} = \frac{AE}{AC}$, откуда $BH \cdot AC = BD \cdot AE$.

Таким образом, произведение проекций катетов на гипотенузу равно $x \cdot y = \frac{BE \cdot AD \cdot AC^2}{BH \cdot AC} = \frac{AB^2 - BH^2}{2} = \frac{BC^2}{2}$.

Так как высота $BH$ равна 5, а $BC$ - гипотенуза, то $BC^2 = BH^2 + CH^2 = 5^2 + CH^2$, где $CH$ - катет. Таким образом, $x \cdot y = \frac{5^2 + CH^2}{2}$.

Для того, чтобы найти $CH$, воспользуемся теоремой Пифагора: $CH^2 = BC^2 - BH^2 = 5^2 + CH^2 - 5^2$, откуда $CH^2 = \frac{25}{2}$.

Таким образом, $x \cdot y = \frac{5^2 + CH^2}{2} = \frac{25 + \frac{25}{2}}{2} = \frac{75}{4}$.

Ответ: произведение проекций катетов на гипотенузу равно $\frac{75}{4}$.