Question

В треугольнике ABC угол B=45 градусов, высота AN делит сторону BC на отрезки BN=8 см и NC=6 см. Найдите площадь треугольника ABC и сторону AC.

Answer 1

Применена теорема Пифагора

Answer 2

Нарисуем треугольник ABC и обозначим заданные в условии значения:

cssCopy code
          C
         /|
        / |
     NC/  |BN
      /   |
     /    |
    A-----B
       AN

Угол B равен 45 градусов, поэтому угол A равен 180° - 90° - 45° = 45°.

Также заметим, что треугольник ABC является прямоугольным, так как угол B равен 45°. Тогда, из свойств прямоугольного треугольника, имеем:

• BC = BN + NC = 8 см + 6 см = 14 см
• AC = AB / cos A, где AB - гипотенуза треугольника. По теореме Пифагора, AB^2 = AC^2 + BC^2, откуда AB = sqrt(AC^2 + BC^2). Тогда AC = AB / cos A = sqrt(AC^2 + BC^2) / cos A.

Теперь найдём длину высоты AN. Заметим, что треугольники ANB и ANC являются подобными, так как углы ANB и ANC прямые (по свойству высоты), а углы BNA и CNA равны (по свойству углов при основании). Таким образом, отношение длин сторон треугольников ANB и ANC равно отношению длин соответствующих сторон, то есть:

AN / BN = AC / NC.

Подставляем данные и находим AN:

AN / 8 см = AC / 6 см

AN = 8 см * AC / 6 см = 4/3 AC

Теперь можем выразить площадь треугольника ABC через сторону AC и длину высоты AN:

S = 1/2 * AC * AN = 1/2 * AC * 4/3 AC = 2/3 AC^2.

Таким образом, мы получили формулу для площади треугольника ABC через сторону AC. Теперь осталось найти AC. Для этого подставляем известные значения в формулу для AC:

AC = sqrt(AC^2 + BC^2) / cos A

AC = sqrt((4/3 AC)^2 + 14^2) / cos 45°

AC = sqrt(16/9 AC^2 + 196) / (sqrt(2)/2)

AC = sqrt(32/9 AC^2 + 392)

Умножаем обе части уравнения на sqrt(9 AC^2 / 32 + 1) и получаем:

AC * sqrt(9 AC^2 / 32 + 1) = sqrt(32 AC^2 / 9 + 392)

Далее возводим обе части