Question

В прямоугольном треугольникеABC угол C=90 градусов.биссектриса AK в 2 раза больше расстояния от точки K до прямой AB.Гипотенуза AB=32см.Найдите катет AC

Answer 1

12 33456678900098876654322245

Answer 2

Рассмотрим треугольник ABC. Пусть $AC=b$ и $BC=a$.

Из теоремы Пифагора получаем: $a^2+b^2=32^2$.

Пусть $BK=x$ и $AK=2x$. Тогда $AK+KB=AB$, то есть $2x+x=32$, откуда $x=10.\overline{6}$.

Заметим, что точка $K$ лежит на биссектрисе угла $C$, а значит, отношение $AK:CK$ равно отношению длин сторон $AB:BC$, то есть $2x:a=b:a$.

Отсюда получаем: $2x^2 = ab$.

Мы получили два уравнения: $a^2+b^2=32^2$ и $2x^2=ab$.

Выразим из второго уравнения $b$ через $a$:

$b=\frac{2x^2}{a}$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$a^2 + \left(\frac{2x^2}{a}\right)^2 = 32^2$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$a^6 - 32^2a^4 + 4x^4a^2 = 0$.

Заметим, что $a^2 \neq 0$, поэтому можем сократить на $a^2$:

$a^4 - 32^2a^2 + 4x^4 = 0$.

Это квадратное уравнение относительно $a^2$. Решим его с помощью дискриминанта:

$D = 32^4 - 4\cdot 4x^4 = 32^4 - 4\cdot 4\cdot (10.\overline{6})^4 = 2512779.56$.

$a^2 = \frac{32^2 \pm \sqrt{D}}{2}$.

Так как $a<b$, то нужно выбрать знак минус:

$a^2 = \frac{32^2 - \sqrt{D}}{2} = 252.44$.

Тогда $a = \sqrt{252.44} \approx 15.9$.

Ответ: $AC = b = \frac{2x^2}{a} \approx 10.1$.