Question

В треугольнике ABC угол A равен 20°, угол B равен 88°, CH - высота. Найдите разность углов ACH и BCH. Ответ дайте в градусах.

Answer 1

ACH = 90-20=70
BCH = 90-88=2
разность углов АСН-ВСН=70-2=68

Answer 2

Для решения задачи нам понадобится знание того, что в треугольнике высота, опущенная на сторону, делит его на два подобных треугольника.

Пусть точка H является основанием высоты, опущенной из вершины C на сторону AB.

Тогда, поскольку треугольник ABC является прямоугольным, мы можем использовать его для нахождения значений трех углов. Угол C равен 180 - 20 - 88 = 72 градуса.

Поскольку точка H является основанием высоты, мы знаем, что треугольникы ACH и BCH подобны треугольнику ABC. Поэтому отношение высоты к основанию в этих треугольниках должно быть одинаковым:

$\frac{CH}{AC} = \frac{BH}{BC}$

Нам нужно выразить один из этих отношений через углы, чтобы найти разность углов ACH и BCH.

Рассмотрим треугольник ACH. Угол ACH равен 90 градусов, поэтому угол HAC равен 70 градусов (20+90=110, 110-40=70). Используя соотношение тангенсов, мы можем выразить отношение CH/AC через угол HAC:

$\tan{70^\circ} = \frac{CH}{AC}$

Аналогично, рассмотрим треугольник BCH. Угол BCH равен 90 градусов, поэтому угол HBC равен 2 градуса (88-90=-2, -2/2=-1, -1+90=89, 89-88=1). Используя соотношение тангенсов, мы можем выразить отношение BH/BC через угол HBC:

$\tan{2^\circ} = \frac{BH}{BC}$

Теперь мы можем выразить разность углов ACH и BCH как разность углов, соответствующих тангенсам:

$\tan{(ACH - BCH)} = \tan{70^\circ} - \tan{2^\circ}$

Используя формулу разности тангенсов, мы можем выразить правую часть уравнения через тангенсы суммы и разности углов:

$\tan{(ACH - BCH)} = \frac{\tan{70^\circ} - \tan{2^\circ}}{1 + \tan{70^\circ} \cdot \tan{2^\circ}}$

Вычислив числитель и знаменатель этой дроби, мы получаем:

$\tan{(ACH - BCH)} \approx 2.577$