Question

Медиану АО треугольника АВС продолжили на отрезок ОР, равный медиане АО. Докажите, что четырёхугольник АВРС - параллелограмм.

Answer 1

В ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКЕ АВРС ДИАГОНАЛИ ВС ПЕРЕСЕКАЕТ ДИАГОНАЛЬ АР В ТОЧКЕ О, КОТОРАЯ СЕРЕДИНА ПО 2-МУ СВОЙСТВУ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА АВРС-ПАРАЛЛЕЛОГРАММ

Answer 2

Пусть точка M является серединой стороны AB, то есть точка пересечения медиан треугольника ABC. Тогда, по определению медианы, AM = MB. По условию задачи, медиана AO продолжена на отрезок OR, равный медиане AO. Пусть точка N является серединой стороны AC, то есть точка пересечения медиан треугольника ABC.

Рассмотрим теперь четырёхугольник АВРС. По построению, AM = MB и AO = OR. Также, по определению медианы, AN = NC и AO = OС. Таким образом, мы имеем две пары равных сторон в четырёхугольнике АВРС: AM = MB и AN = NC, что означает, что стороны AM и AN параллельны сторонам BC и RS соответственно. Также, AO = OR и OC = OA, что означает, что диагонали четырёхугольника АВРС пересекаются в их серединах.

Из свойств параллелограмма следует, что противоположные стороны параллельны, а диагонали делятся пополам. Таким образом, мы доказали, что четырёхугольник АВРС является параллелограммом.