Question

Докажите, что при пересечении биссектрис углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, образуется прямые углы.

Answer 1

Трапеция АВСД, АО биссектриса угла А, ВО биссектриса угла В, уголОАД=уголВАО=х, уголА=2х, уголА+угоВ=180 -внутренние односторонние углы, уголВ=180-уголА=180-2х, уголОВА=уголОВС=1/2уголВ=(180-2х)/2=90-х, треугольник АОВ, уголАОВ=180-уголВАО-уголОВА=180-х-(90-х)=90, биссектриса АО перпендикулярна биссектрисе ВО

Answer 2

Рассмотрим трапецию $ABCD$ с боковой стороной $BC$ и биссектрисами углов $A$ и $D$, которые пересекаются в точке $O$ (см. рисунок ниже).

[insert image]

Для начала заметим, что биссектрисы углов $A$ и $D$ делят соответственно боковые стороны $AB$ и $CD$ на две равные части. Обозначим точку пересечения биссектрисы угла $A$ со стороной $BC$ как $E$, а точку пересечения биссектрисы угла $D$ со стороной $BC$ как $F$.

Так как $AO$ и $DO$ являются биссектрисами углов, то углы $BAO$ и $DCO$ равны между собой, а углы $DAO$ и $BCO$ также равны. Обозначим эти углы как $\angle BAO = \angle DCO = \alpha$ и $\angle DAO = \angle BCO = \beta$.

Также заметим, что углы $BAE$ и $DCF$ равны, так как это соответственно углы между боковой стороной и биссектрисой угла в том же треугольнике $ABE$ и $DCF$. Обозначим этот угол как $\angle BAE = \angle DCF = \gamma$.

Теперь рассмотрим треугольник $ABE$. Мы знаем, что углы $BAE$ и $ABE$ равны между собой, так как это соответственно углы между боковой стороной и биссектрисой угла. Также мы знаем, что угол $A$ равен сумме углов $BAE$ и $ABE$, то есть $\angle A = 2\gamma + 2\alpha$. Аналогично, для треугольника $DCF$ мы получаем, что $\angle D = 2\gamma + 2\alpha$.

Таким образом, мы видим, что углы $A$ и $D$ равны между собой. Но так как углы $A$ и $D$ являются дополнительными в трапеции $ABCD$, то они в сумме дают $180^\circ$, то есть $\angle A + \angle D = 180^\circ$. Из этого следует, что каждый из этих углов равен $90^\circ$, то есть они образуют прямой угол.

Таким образом, мы доказали, что при пересечении биссектрис углов, прилежащих