Question

В равнобедренном треугольнике углы при вершине равны α,высота,опущенная на боковую сторону равна h.Найти стороны треугольника

Answer 1

 В прямоугольном треугольнике АВМ ( cм. рис.1)
: катет АМ=h. ∠АВМ=α
По определению
 sinα=h/AB⇒  AB=h/sinα
См. рис.2
Высота равнобедренного треугольника является и биссектрисой и медианой
Поэтому она делит угол α пополам и сторону АС пополам:
АК=КС
Из прямоугольного треугольника АВК:
sin (α/2)=AK/AB  ⇒    AK = AB·sin(α|2)=h·sin(α/2)/sinα
AC = AK + KC = AK + AK= 2h·sin(α/2)/sinα=h/cos(α/2)
применили формулу sinα = 2·sin(α/2)·cos(α/2)
Ответ. АВ=ВС=h/sinα  - боковые стороны
           АС=h/cos(α/2)  - основание

Answer 2

Боковые стороны равны АВ = ВС = h / sin α.
Основание равно 2*АВ*sin (α/2) = 2*h*sin (α/2) / sin α

Answer 3

Пусть ABC - равнобедренный треугольник, где AB = AC, и h - высота, опущенная на боковую сторону BC. Пусть также угол при вершине A равен α.

Так как треугольник ABC равнобедренный, то углы при основании равны: ∠BAC = ∠BCA = (180° - α)/2.

Рассмотрим треугольник ABC и его высоту h, опущенную на сторону BC. По определению высоты, прямоугольный треугольник ABH с гипотенузой AB и катетом h подобен треугольнику ABC.

Запишем отношение подобия для этих двух треугольников:

AB/BC = AH/AC

Так как AB = AC (треугольник равнобедренный), то

AB/BC = AH/AB

AB² = BC × AH

AB² = BC × 2×S/BC (S - площадь треугольника ABC)

AB² = 2×S

AB = √(2×S)

Но мы можем найти площадь треугольника ABC через высоту h, опущенную на сторону BC:

S = (BC × h)/2

Заменим S в формуле для стороны AB:

AB = √(2×S) = √(2×(BC×h/2)) = √(BC×h)

Таким образом, сторона равнобедренного треугольника ABC, прилегающая к углу α, равна AB = √(BC×h).

Заметим, что угол при основании треугольника равен (180° - α)/2, поэтому в равнобедренном треугольнике ABC верно:

BC/2 = h/tan((180° - α)/2)

Таким образом, мы можем найти значение BC:

BC = 2×h/tan((180° - α)/2)

Итак, стороны равнобедренного треугольника ABC равны:

AB = √(BC×h)

BC = 2×h/tan((180° - α)/2)