Question

В прямоугольном треугольнике сумма гипотенузы и меньшего из катетов равна 75 см. Найдите гипотенузу треугольника , если один из его углов равен 30°. Запишите решение и ответ. Без синусов и косинусов.

Answer 1

Есть такое свойство прямоугольного тр-ка: Катет, лежащий напротив угла в 30°, равен половине гипотенузы.
Очевидно, что 30° - это меньший из острых углов тр-ка,значит напротив лежащий катет - меньший в тр-ке.
Пусть катет равен а, гипотенуза - с. с=2а.
с+а=75
3а=75
а=25 см,
с=50 см.
Ответ: гипотенуза равна 50 см.

Answer 2

Пусть катеты треугольника имеют длины $a$ и $b$, а гипотенуза имеет длину $c$.

Так как один из углов треугольника равен 30°, то из соответствующих отношений в прямоугольном треугольнике можно выразить, что $\frac{a}{c} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\frac{b}{c} = \frac{1}{2}$.

Из условия задачи известно, что $c + b = 75 - a$. Тогда можно записать уравнение, связывающее $a$, $b$ и $c$:

$c + b = 75 - a$

$c + \frac{c}{2} = 75 - a$

$\frac{3}{2}c = 75 - a$

$c = \frac{150 - 2a}{3}$

Также мы знаем, что $a^2 + b^2 = c^2$. Заменяя $c$ в этом уравнении на выражение из предыдущего шага, получаем:

$a^2 + b^2 = \left(\frac{150 - 2a}{3}\right)^2$

$a^2 + b^2 = \frac{22500 - 600a + 4a^2}{9}$

$9a^2 + 9b^2 = 22500 - 600a + 4a^2$

$5a^2 + 600a - 22500 = 9b^2$

$a^2 + 120a - 4500 = \frac{9}{5}b^2$

$a^2 + 120a + 3600 - 8100 = \frac{9}{5}b^2$

$(a + 60)^2 - 8100 = \frac{9}{5}b^2$

$(a + 60)^2 = \frac{9}{5}b^2 + 8100$

$(a + 60)^2 = \frac{9}{5}(b^2 + 900)$

Так как $\frac{a}{c} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то $\frac{a}{\frac{150-2a}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Раскрывая скобки, приводя подобные слагаемые и решая полученное уравнение, получаем:

$a = 25\sqrt{3} - 30$

Тогда, подставляя этот результат в выражение для $c$, получаем:

$c = \frac{150 - 2a}{3} = \frac{100}{\sqrt{3}}$

Ответ: гипотенуза треугольника равна $\frac{100}{\sqrt{3}}$ см.