Question

Равнобедренный треугольник, острый угол равен 45 градусов, высота проведенная к основанию равна 3. Найти основание, площадь треугольника, радиус описанной окружности.

Answer 1

1) 6
2) площадь 9
3) 3

Answer 2

Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с острым углом A равным 45 градусов и высотой CH, которая проведена к основанию AB.

Так как треугольник ABC равнобедренный, то его биссектриса из вершины A является высотой, медианой и биссектрисой, то есть делит основание AB пополам.

Обозначим биссектрису треугольника ABC через BD. Тогда мы знаем, что BD проходит через вершину A и делит угол A пополам, то есть угол ABD равен 22,5 градусов, и угол CBD тоже равен 22,5 градусов. Так как углы треугольника в сумме равны 180 градусов, то угол BAC равен 180 - 45 = 135 градусов.

Также мы знаем, что высота CH равна 3. Так как треугольник ABC является прямоугольным, то высота CH является катетом прямоугольного треугольника BCH, а гипотенуза BC является основанием треугольника ABC. По теореме Пифагора имеем:

$BC^2 = BH^2 + CH^2$

Так как угол BCH равен 45 градусов, то BH = CH, следовательно,

$BC^2 = 2CH^2 = 2\cdot3^2 = 18$

$BC = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$

Таким образом, основание треугольника ABC равно $AB = 2BC = 6\sqrt{2}$.

Чтобы найти площадь треугольника ABC, мы можем использовать формулу $S = \frac{1}{2}bh$, где b - основание треугольника, h - высота, проведенная к этому основанию. Подставляя известные значения, получаем:

$S = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} \cdot 3 = 9\sqrt{2}$

Наконец, чтобы найти радиус описанной окружности, мы можем использовать формулу $R = \frac{abc}{4S}$, где a, b, c - стороны треугольника, а S - его площадь. В данном случае, треугольник ABC равнобедренный, поэтому стороны a и b равны, а сторона c - противолежащая гипотенуза, равна $c = 3\sqrt{2}$. Подставляя известные значения, получ