Question

В треугольнике ABC даны стороны AB=c, BC=a, AC=b. Точка М выбрана на стороне BC таким образом, что BM/MC = 1/2. Найдите длину отрезка АМ

Answer 1

Достроим наш треугольник до точки  $G$.Тогда  $AB=BG=c$ так как  $BC$ будет медианой , это следует из-того что  $\frac{BM}{MC}=\frac{1}{2}$. Тогда  $AE$ - так же медиана , где точка  $E$ - это точка на стороне   $GC$. 
Найдем угол  $GAC$ , из треугольника  $AVC$ 
  $cosGAC=\frac{a^2-c^2-b^2}{-2bc}\\ GC=\sqrt{4c^2+b^2-4cb*\frac{a^2-c^2-b^2}{-2bc}}=\sqrt{2a^2-b^2+2c^2}$ 
Получим треугольник со сторонами  $2c;\sqrt{2a^2-b^2+2c^2};b$ 
По формуле  длины медианы в треугольники получим 
$AE=\frac{\sqrt{2*4c^2+2b^2-(2a^2-b^2+2c^2)}}{2}\\ AM=\frac{\sqrt{3b^2+6c^2-2a^2}}{3}$ .

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой пифагора и свойством подобных треугольников.

По теореме пифагора в прямоугольном треугольнике ABC с гипотенузой AC и катетами AB и BC, выполняется следующее соотношение:

AC^2 = AB^2 + BC^2

Также, по свойству подобных треугольников, отношение длин соответствующих сторон подобных треугольников равно.

Используя эти два свойства, можно записать следующее соотношение для подобных треугольников AMB и AMC:

AM/AB = MC/BC

Известно, что BM/MC = 1/2. Заменим MC в последнем соотношении:

AM/AB = (BM + MC)/BC = (BM + 1/2 MC)/BC

Так как BM/MC = 1/2, можно записать:

AM/AB = (BM + 1/2 BM)/(BC/2) = 3/2 BM/(BC/2) = 3BM/BC

Теперь, используя соотношение теоремы пифагора AC^2 = AB^2 + BC^2, можем записать:

AC^2 = AB^2 + (2BM)^2 = c^2 + 4BM^2

Так как AB = c и AM = BM + AM, получаем:

AM^2 = (BM + AM)^2 = (BM + AM)(BM + AM) = BM^2 + 2BM*AM + AM^2

Заменим AM/AB в полученном соотношении:

AM^2 = (3BM/BC)^2 (c^2 + 4BM^2) = 9BM^2(c^2 + 4BM^2)/BC^2

Теперь уравняем два соотношения для AM^2:

BM^2 + 2BM*AM + AM^2 = 9BM^2(c^2 + 4BM^2)/BC^2

BM^2 + 2BM*AM + AM^2 - 9BM^2(c^2 + 4BM^2)/BC^2 = 0

Упростим это уравнение:

(2AM - 9BM^2(c^2 + 4BM^2)/BC^2) + BM^2 = 0

Так как AM > 0 и BM > 0, оставим только положительное решение:

2AM - 9BM^2(c^2 + 4BM^2)/BC^2 = 0

2AM = 9BM^2(c^2 + 4BM^2)/BC^2

AM = (9BM^2(c^2 + 4BM^2)/BC^2)/2

AM = 9BM^2(c^2 + 4BM^2)/(2BC^2)

Таким образом, длина отрезка АМ равна 9BM^2(c^2 + 4BM^2