Question

1. В равнобедренную трапецию с верхним основанием равным 1, вписана окружность единичного радиуса. Найдите нижнее основание трапеции. 2. Длина окружности 4 . Найдите площадь квадрата, вписанного в эту окружность.

Answer 1

ВК= h=2R=2; АВСД равнобедренная трапеция ВС=1, АВ=СД, ВС+АД=2АВ,найдем из треугольника АВК АВ=корень из (2^2+((АД-ВС)/2)^2; АВ=V(4+((AД-1)/2)^2); 1+АД=2V(4+((АД-1)/2)^2); ((1+АД)/2)^2=4+((АД-1)/2)^2;4АД=16; АД=4.
2)L=4= 2 пR; R=2/п=аv2( a корней из2); а=2/пv2 ; S=a^2=(2/(3,14*v2))^2=0,2

Answer 2

1. Обозначим нижнее основание равнобедренной трапеции через x. Так как трапеция равнобедренная, то ее высота проходит через центр окружности. Пусть O - центр окружности, H - середина нижнего основания трапеции, а M - точка касания окружности с верхним основанием трапеции. Тогда OM - радиус окружности - равен 1, а OH - половина нижнего основания трапеции - равна x/2. Из прямоугольного треугольника OHM получаем: OM^2 + HM^2 = OH^2 1^2 + (x/2)^2 = (1+x/2)^2 Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые: 1 + x^2/4 = 1 + x^2/4 + x - x^2/4 Сокращаем 1 и x^2/4 и получаем уравнение на x: x = 2

Ответ: нижнее основание трапеции равно 2.

2. Длина окружности равна 4, значит ее радиус равен r = 4/(2π) = 2/π. Пусть A, B, C, D - вершины квадрата, а E, F, G, H - точки пересечения сторон квадрата со сторонами окружности, как показано на рисунке:

cssCopy code
+---E---+
|       |
F       D
|       |
+---G---+


       H

Тогда AF = BG = CH = DE = 2r = 4/π. Так как квадрат ABCD равенственный, то его сторона равна 2r, а его площадь равна (2r)^2 = 16/π^2.

Ответ: площадь квадрата, вписанного в окружность длины 4, равна 16/π^2.