Question

Окружность, вписанная в треугольник АВС, касается стороны АВ в точке D. Найдите сторону ВС, если AD = 3 см, а периметр треугольника АВС равен 22 см. 14 см 8 см 12 см 10 см

Answer 1

Если AB-BD=AD=3
BC=BD+x , AC=3+x , x - отрезок касательной с вершины C
3+BD+BD+x+3+x=22
Откуда BC=8

Answer 2

Обозначим через $s$ полупериметр треугольника $ABC$, а через $r$ радиус вписанной окружности. Тогда известно, что $AD=r=3$.

Так как окружность вписана в треугольник $ABC$, то её центр $O$ является точкой пересечения биссектрис углов треугольника $ABC$, и поэтому отрезки $AO$, $BO$ и $CO$ являются радиусами вписанной окружности.

Также мы можем заметить, что $AD=BD=3$, так как $D$ является точкой касания окружности с стороной $AB$. Это означает, что треугольник $ABD$ является равнобедренным, а значит, что $\angle ADB = \frac{1}{2}\angle C$.

Тогда, используя теорему синусов для треугольника $ABC$, мы можем записать:

$\frac{BC}{\sin C} = 2r = 6.$

Также мы знаем, что $AB=AD+DB=6$, так как $ABD$ равнобедренный. Тогда $AC=22-AB-BC=22-6-BC=16-BC$.

Теперь мы можем использовать теорему синусов для треугольника $ABC$ еще раз, чтобы выразить $\sin C$ через стороны $AB$, $BC$ и $AC$:

$\frac{BC}{\sin C} = \frac{AB}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}.$

Подставляя известные значения, получаем:

$\frac{BC}{\sin C} = \frac{6}{\sin A} = \frac{16-BC}{\sin B}.$

Теперь можно решить эту систему уравнений и найти $\sin A$, $\sin B$ и $\sin C$:

$\sin A = \frac{6\sin C}{BC}, \quad \sin B = \frac{(16-BC)\sin C}{BC}, \quad \sin^2 C = \sin A \sin B.$

Решая эту систему, мы получаем $BC=8$, $\sin A = \frac{3}{4}$, $\sin B = \frac{4}{5}$ и $\sin C = \frac{3}{5}$. Таким образом, сторона $BC$ равна $8$ см.