Question

В равнобедренный треугольник ABC (AB = BC) вписана окружность, длина радиуса которой равна 9 см. Касательная l к окружности, параллельная прямой AC, пересекает стороны AB и BC в точках P и T соответственно. Известно, что BP : PA = 1 : 3. Вычислите периметр четырехугольника APTC.

Answer 1

Заданный четырёхугольник АРТС - равнобедренная трапеция.
В соответствии с заданием треугольники ВРТ и ВАС подобны с коэффициентом 1:4.
Обозначим точку касания окружности с отрезком РТ как точка F, а отрезок ВР за х, боковая сторона трапеции равна 3х.
Диаметр окружности и отрезок BF относятся как 1:3, поэтому BF = 18/3 = 6 см, а PF = √(х² - 36).
Верхнее основание трапеции - отрезок РТ равен 2√(х² - 36), а нижнее - в 4 раза больше, то есть АС = 8√(х² - 36).
По свойству вписанной окружности суммы оснований и боковых сторон равны.
3х + 3х = 2√(х² - 36) + 8√(х² - 36).
6х = 10√(х² - 36). Возведём обе части в квадрат.
64х² = 100х² - 3600.
64х² = 3600.
 х = √3600/√64 = 60/8= 15/2.
Периметр АРТС равен (3х + 3х)*2 = 12х = 12*(15/2) = 6*15 = 90 см.

Answer 2

Обозначим точку касания касательной $l$ с окружностью через $O$. Так как $l$ параллельна стороне $AC$, то $\angle ATO = \angle BOC$, где $O$ — центр окружности. Равнобедренность треугольника $ABC$ означает, что $\angle ABC = \angle BAC$, и следовательно, $\angle BOC = 2\angle BAC$. Так как $OA=OC$, то треугольники $OAC$ и $OCA$ равны, и $\angle AOC = \angle OAC = \angle OCA = \angle BAC$.

Таким образом, получаем, что $\angle ATO = 2\angle AOC$, а значит, $\angle ATO = 2\angle ABC$. Так как $AB=BC$, то $\angle ABC = \angle BAC = \frac{180^\circ- \angle AOC}{2}$. Следовательно, $\angle ATO = 180^\circ - \angle AOC$.

Так как $BP:PA=1:3$, то $AP=3BP$ и $AB=4BP$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $APT$:

$$AT^2 = AP^2 - PT^2 = 9^2 \cdot 8 - (4BP)^2 = 576 - 7BP^2.$$

Заметим, что $7BP^2 = 7\cdot \frac{1}{16}AB^2 = \frac{7}{16}(AP+BP)^2 = \frac{7}{16}\left(4BP\right)^2 = \frac{7}{4}BP^2$. Следовательно, $AT^2 = 576 - \frac{7}{4}BP^2$.

Так как $AP=3BP$, то $PT=4BP$. Периметр четырехугольника $APTC$ равен $AC+PT+AT$. Так как $AC=2AP=6BP$, то

$$\text{периметр четырехугольника $APTC$} = 6BP + 4BP + \sqrt{576 - \frac{7}{4}BP^2}.$$

Нам осталось найти $BP$. Заметим, что $AB=\sqrt{16BP^2+9^2}$. Так как $AB=4BP$, то

$$16BP^2 + 81 = 16BP^2 \quad \Rightarrow \quad BP^2 = \frac{81}{16}.$$

Следовательно, $BP = \frac{9}{4}$. Тогда

$$\text{периметр четырехугольника $APTC$} = 6\cdot\frac{9}{4} + 4\cdot\frac{9}{4} + \sqrt{576 - \frac{7}{4}\cdot\left(\frac{9}{4}\right)^2} = \boxed{\frac{135}{4} + \frac{3}{4}\sqrt{527}} \approx 43.4.$$