Question

ДАЮ 20 БАЛЛОВАЯ! ПОМОГИТЕ!!!!! Прямые, касающиеся окружности в точках А и В, перпендикулярны. Докажите, что радиусы ОА и ОВ также перпендикулярны.

Answer 1

Итак,
радиус, проведенный к точке касания, перпендикулярен к касательной. т.е. ОА перпендикулярен к прямой А, ОВ - к прямой В.
Значит, ОВ параллелен к прямой А, а ОА - к прямой В. Значит, у нас получится параллелограмм АОВС (пусть точка С - точка пересечения прямых В и А), а раз угол АСВ прямой, то АОВС - прямоугольный, и АОВ - прямой, т.е. АО перпендикулярен к ВО.  

Answer 2

Для начала, обозначим центр окружности как O, а радиус как r. Также пусть точки пересечения окружности с прямыми AB и CD будут соответственно E и F.

Так как прямые AB и CD являются касательными к окружности, то точки E и F будут находиться на одинаковом расстоянии от центра O. Следовательно, OE = OF = r.

Поскольку прямые AB и CD перпендикулярны, то они образуют прямоугольный треугольник OEF. В этом треугольнике угол EFO является прямым, а OE = OF = r. Значит, треугольник OEF является равнобедренным и угол EOF равен углу EFO.

Теперь рассмотрим треугольник OAB. Угол OAB является прямым, так как AB является касательной к окружности в точке A. Значит, треугольник OAB также является прямоугольным.

По условию, прямые AB и CD перпендикулярны, а значит, угол AOB является прямым. Также угол EOB является внешним углом треугольника OEF, а значит, он равен сумме углов EFO и EOF. Поскольку угол EOF равен углу EFO, то угол EOB равен удвоенному углу EFO.

Таким образом, мы получаем, что в прямоугольном треугольнике OAB угол OAB является прямым, а угол EFO равен половине угла OEB. Но мы уже знаем, что угол EFO равен углу EOF, который также является прямым. Значит, угол OEB также является прямым.

Таким образом, мы доказали, что радиусы ОА и ОВ перпендикулярны.