Question

Длины сторон треугольника образуют арифметическую прогрессию с разностью 2. Косинус наименьшего угла этого треугольника равен 4/5. Найдите периметр треугольника.

Answer 1

стороны треугольника: (х); (х+2); (х+4)... периметр = 3х+6   осталось найти (х)   меньший угол лежит против меньшей стороны (это (х));   по теореме косинусов:   х^2=(х+2)^2+(х+4)^2-2(х+2)(х+4)*4/5   х^2=2х^2+12х+20-8(х^2+6х+8)/5   5х^2=10х^2+60х+100-8(х^2+6х+8)   х^2-4х-12=0 ---> х=6; х≠-2   Ответ: периметр=3*6+6=24

Answer 2

Обозначим длину наименьшей стороны треугольника через x, тогда средняя сторона будет равна x + 2, а наибольшая сторона будет равна x + 4 (так как разность между соседними членами арифметической прогрессии равна 2).

Мы знаем, что косинус наименьшего угла треугольника равен 4/5, то есть:

cos α = 4/5,

где α - наименьший угол треугольника.

Используя теорему косинусов, мы можем выразить длину наибольшей стороны через косинус наименьшего угла:

x + 4 = √(x^2 + (x + 2)^2 - 2x(x + 2)cos α)

x + 4 = √(2x^2 + 4x + 4 - 8x/5)

x + 4 = √(10x^2/5 + 20x/5 + 16/5)

x + 4 = √(2x^2 + 4x + 16)/√5

x + 4 = √((x + 2)^2 + 12)/√5

Мы также знаем, что в треугольнике сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны. Применяя это к нашему треугольнику, мы можем записать:

x + (x + 2) > x + 4

2x + 2 > x + 4

x > 2

Таким образом, наименьшая сторона треугольника должна быть больше 2.

Теперь мы можем найти периметр треугольника, сложив длины его сторон:

Периметр = x + (x + 2) + (x + 4) = 3x + 6

Заменим x + 4 на √((x + 2)^2 + 12)/√5, полученное выражение для наибольшей стороны:

Периметр = x + (x + 2) + √((x + 2)^2 + 12)/√5 = 3x + 6

Упрощаем:

x + (x + 2) + √((x + 2)^2 + 12)/√5 = 3x + 6

√((x + 2)^2 + 12)/√5 = x + 4

((x + 2)^2 + 12)/5 = (x + 4)^2

(x + 2)^2 + 12 = 5(x + 4)^2

x^2 + 4x + 4 + 12 = 5(x^2 + 8x + 16)

x^2 - 16x - 8 = 0

Решаем квадратное уравн