Question

Две окружности касаются внешним образом. Радиусы окружностей относятся как 2:3. Найдите диаметры окружностей, если расстояние между их центрами ровно 10 см.

Answer 1

3x+2x=10, 5x=10, x=10/5, x=2. Значит так: 3*2=6см 2*2=4 см- радиусы найдены

Answer 2

Пусть $r_1$ и $r_2$ — радиусы меньшей и большей окружностей соответственно, и пусть $d$ — расстояние между их центрами.

Так как окружности касаются внешним образом, то сумма радиусов $r_1$ и $r_2$ равна расстоянию между их центрами, то есть $r_1 + r_2 = d = 10\text{ см}$.

По условию задачи, $r_2 = \frac{3}{2}r_1$.

Тогда, подставляя $r_2$ через $r_1$, имеем:

$r_1 + \frac{3}{2}r_1 = 10$

$\frac{5}{2}r_1 = 10$

$r_1 = 4\text{ см}$

Таким образом, $r_2 = \frac{3}{2}r_1 = 6\text{ см}$.

Диаметр первой окружности равен $2r_1 = 8\text{ см}$, а диаметр второй окружности равен $2r_2 = 12\text{ см}$.

Answer 3

Пусть первая окружность имеет радиус $r_1$, а вторая окружность имеет радиус $r_2$. Тогда из условия задачи следует, что $r_2 = \frac{3}{2}r_1$.

Пусть $O_1$ и $O_2$ - центры первой и второй окружностей соответственно. Тогда расстояние между их центрами равно $O_1O_2 = 10$ см.

Построим касательные к обеим окружностям, проходящие через точку касания. Они будут параллельны и расстояние между ними будет равно $r_1+r_2$. Обозначим точки касания окружностей и касательных как $A$ и $B$ (см. рисунок).

Из прямоугольного треугольника $O_1AB$ можно записать: $(r_1+r_2)^2 = O_1A^2 + AB^2 = O_1A^2 + O_2B^2.$

Из подобия треугольников $O_1AB$ и $O_2AB$ следует, что $\frac{O_1A}{O_2B} = \frac{r_1}{r_2}$. Используя то, что $r_2 = \frac{3}{2}r_1$, получаем $O_2B = \frac{2}{3}O_1A$.

Тогда можно переписать выражение для $(r_1+r_2)^2$: $(r_1+r_2)^2 = O_1A^2 + O_2B^2 = O_1A^2 + \frac{4}{9}O_1A^2 = \frac{13}{9}O_1A^2.$

Таким образом, $r_1 + r_2 = \sqrt{\frac{13}{9}} O_1A,$ $r_2 = \frac{3}{2}r_1.$

Заменяем $r_2$ в первом уравнении: $r_1 + \frac{3}{2}r_1 = \sqrt{\frac{13}{9}} O_1A,$ $\frac{5}{2}r_1 = \sqrt{\frac{13}{9}} O_1A,$ $O_1A = \frac{5}{2}\cdot\frac{r_1}{\sqrt{\frac{13}{9}}} = \frac{5}{2}\cdot\frac{r_1\sqrt{9}}{\sqrt{13}} = \frac{15}{\sqrt{13}}r_1.$

Теперь можно записать выражения для диаметров: $d_1 = 2r_1 = \frac{4}{3}r_2 = \frac{8}{3}r_1,$

$$$$