Question

В треугольнике АВС АС=ВС, АВ = 15, АН - высота, ВН = 3. Найдите cosBAC варианты ответа 1) 0, 2) 0.5, 3) 1

Answer 1

Косинус в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. У нас есть прямоугольный треугольник АНВ, в котором мы можем вычислить косинус угла В=3/15=0.2
А т.к. треугольник АВС равнобедренный, то и углы при основании А и В равны. И косинусы их тоже равны. следовательно CosBAC=0.2

Answer 2

Для решения задачи нам понадобятся теоремы косинусов и Пифагора.

Обозначим угол BAC за α. Тогда угол ABC также равен α, так как треугольник АВС равнобедренный (СА = СВ). Разложим сторону АС на две части: АН и НС. Обозначим длину стороны ВН через х. Тогда НС = АС - АН = ВС - АН = ВН + х - АН.

По теореме Пифагора в треугольнике АВН:

$15^2 = АВ^2 = АН^2 + ВН^2 = АН^2 + 3^2$

Следовательно, $АН = \sqrt{15^2 - 3^2} = \sqrt{216} = 6\sqrt{6}$.

По теореме косинусов в треугольнике АВС:

$\cos α = \frac{АВ^2 + АС^2 - ВС^2}{2АВАС} = \frac{15^2 + (АН + НС)^2 - (2АН)^2}{2·15·(АН + НС)} = \frac{225 + (6\sqrt{6} + х - АН)^2 - 72}{30(6\sqrt{6} + х - АН)}$

Теперь воспользуемся еще одной теоремой косинусов в треугольнике ВНС:

$\cos α = \frac{ВН^2 + ВС^2 - СН^2}{2ВНВС} = \frac{х^2 + 2х\sqrt{6} + 6^2 - (6\sqrt{6} - х)^2}{2х·6\sqrt{6}} = \frac{12х\sqrt{6}}{12х\sqrt{6}} = 1$

Таким образом, мы получили, что $\cos α = 1$, что соответствует третьему варианту ответа.