Question

Высота CD прямоугольного треугольника ABC,проведённая из вершины прямого угла,равна 4 см.Известно,что она делит гипотенузу на отрезки,один из которых равен 4√3. Найдите градусные меры острых углов треугольника ABC

Answer 1

<C = 90°
<B = 30°
<A  = 180° - 90° - 30° =  60°

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Пифагора и свойством подобных треугольников.

По теореме Пифагора имеем: AB^2 + BC^2 = AC^2, где AB и BC - катеты прямоугольного треугольника, AC - гипотенуза.

Известно, что высота CD делит гипотенузу AC на отрезки, один из которых равен 4√3. Пусть CD делит AC на отрезки AD и DC, такие что AD = 4√3.

Тогда применим подобие треугольников ADC и ABC. По свойству подобных треугольников, отношение соответствующих сторон равно. То есть:

AD/AB = DC/BC.

Подставим известные значения:

4√3/AB = (AC - 4√3)/BC.

Так как AB и BC являются катетами прямоугольного треугольника, мы можем сказать, что AB/BC = BC/AB.

Подставим это в уравнение:

4√3/AB = (AC - 4√3)/BC = BC/AB.

Перенесем все слагаемые с AB в одну часть уравнения:

(4√3/AB) - (BC/AB) = (AC - 4√3)/BC.

Сократим общие множители:

4√3 - BC = (AC - 4√3)/BC.

Умножим обе части уравнения на BC:

4√3 * BC - BC^2 = AC - 4√3.

Переставим слагаемые:

AC = 4√3 * BC - BC^2 + 4√3.

Теперь мы можем заменить AC^2 в уравнении Пифагора:

AB^2 + BC^2 = (4√3 * BC - BC^2 + 4√3)^2.

Далее, используем известное значение высоты CD, равное 4 см:

(AB * BC)/2 = 4.

Таким образом, у нас есть система уравнений:

AB^2 + BC^2 = (4√3 * BC - BC^2 + 4√3)^2, (AB * BC)/2 = 4.

Решение этой системы уравнений может быть сложным и требует численных методов. Однако, мы можем найти приближенные значения для градусных мер острых углов треугольника ABC.

Пожалуйста, предоставьте некоторое время для решения данной системы уравнений численным методом.