Question

Сформулировать и докозать свойство биссектрисы внутреннего угла треугольника.

Answer 1

Биссектриса делит угол пополам

Answer 2

Свойство биссектрисы внутреннего угла треугольника гласит, что биссектриса угла делит противолежащую сторону на две отрезка, пропорциональных друг другу и длине третьей стороны треугольника.

Формально, пусть в треугольнике $ABC$ биссектриса угла $B$ пересекает сторону $AC$ в точке $D$, тогда:

$\frac{AB}{BD} = \frac{AC}{CD}$

Доказательство:

Проведем биссектрису угла $B$, пересекающую сторону $AC$ в точке $D$.

Так как $BD$ и $DC$ являются отрезками биссектрисы угла $B$, то $\angle ABD = \angle DBC$ и $\angle ACD = \angle DCB$.

Используя соответствующие углы, можно установить подобие треугольников $ABD$ и $CBD$ и получить, что:

$\frac{AB}{BD} = \frac{BC}{CD} \qquad (1)$

Аналогично, используя подобие треугольников $ACD$ и $CBD$, можно получить, что:

$\frac{AC}{CD} = \frac{BC}{BD} \qquad (2)$

Из уравнений $(1)$ и $(2)$ следует, что:

$\frac{AB}{BD} = \frac{AC}{CD}$

что и требовалось доказать.