Question

В трапеции ABCD основания BC и AD равны 2 см и 8 см, а диагональ AC равна 4 см. В каком отношении делит диагональ AC площадь трапеции ?

Answer 1

СК = СН - высоты трапеции, и высоты треугольников АВС и АСД, если у треугольников равные высоты то их площади относятся как основания, значит Sabc/Sadc=4/8=1/2

Answer 2

Площадь трапеции можно найти, используя формулу:

$S = \frac{(a + b)h}{2}$

где $a$ и $b$ - основания трапеции, а $h$ - высота трапеции.

Диагональ $AC$ разбивает трапецию на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ACD$. Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти высоту $h$ одного из этих треугольников:

$h^2 = AC^2 - (\frac{b-a}{2})^2$

где $\frac{b-a}{2}$ - половина разности оснований.

Для $\triangle ABC$ основания равны $a = 2$ см и $b = 8$ см, поэтому $\frac{b-a}{2} = 3$ см. Таким образом,

$h^2 = 4^2 - 3^2 = 7$

$h = \sqrt{7} \approx 2.65$

Теперь мы можем найти площадь каждого треугольника:

$S_{\triangle ABC} = \frac{(2 + 8)\cdot2.65}{2} \approx 13.3$

$S_{\triangle ACD} = \frac{(2 + 8)\cdot2.65}{2} \approx 13.3$

Итак, общая площадь трапеции равна:

$S = S_{\triangle ABC} + S_{\triangle ACD} \approx 26.6$

Диагональ $AC$ делит трапецию на две равные части, поэтому она делит площадь трапеции пополам. Следовательно, диагональ $AC$ делит площадь трапеции в отношении 1:1.