Question

В треугольнике АВС медианы АА1 и ВВ1 пересекаются в точке О. Найдите площадь АВС, если плошадь АВО=S (Ответ должен получиться 3S)

Answer 1

Проведем медиану СС₁
Медины в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.
СО:ОС₁=2:1, а OC₁:CC₁=1:3

Проведем высоты СН и ОК.
Треугольники С₁СH  и С₁ОК подобны  ( ОК || СН)
ОК:СН= OC₁:CC₁=1:3

S(Δ ABC)=AB·CH/2
S(Δ AOB)=AB·OK/2
Треугольники АВС и АОВ имеют одинаковое основание АВ
Поэтому

S(Δ ABC):S(Δ AOB)=CH:OK=3:1
площади относятся как высоты.
S(Δ ABC)=3·S(Δ AOB)=3S

Answer 2

Пусть точка М является серединой стороны AC. Так как медиана АА₁ делит треугольник на два равных треугольника, площадь треугольника АВО равна половине площади треугольника АА₁О:

S = (1/2) * S₁,

где S₁ - площадь треугольника АА₁О.

Аналогично, площадь треугольника ВВ₁О также равна половине площади треугольника ВВ₁О:

S = (1/2) * S₂,

где S₂ - площадь треугольника ВВ₁О.

Так как точка О является точкой пересечения медиан, то она также является точкой пересечения всех трех медиан (ОА₁, ОВ₁ и ММ₁). Это означает, что точка О делит каждую медиану на две равные части.

Таким образом, площадь треугольника АВС можно выразить через площади треугольников АВО, ВВ₁О и АА₁О следующим образом:

S = S₁ + S₂.

Из условия задачи известно, что S = S₁. Подставим это значение в уравнение:

S = S + S₂.

Выразим S₂:

S₂ = S - S = 0.

Таким образом, площадь треугольника ВВ₁О равна нулю.

Теперь выразим площадь треугольника АВС через S и S₁:

S = S₁ + 0,

S = S₁.

Таким образом, площадь треугольника АВС равна площади треугольника АА₁О, то есть 3S.