Question

В трапеции PQRS с основанием QR и PSдиагонали пересекаются в точке T а) доказать подобие треугольников QTR и STR б) Найти длину отрезка TS, если QR=7см, PS=14см, QS=15смУМОЛЯЮПОМОГИТЕ

Answer 1

..........................

Answer 2

Для доказательства подобия треугольников QTR и STR необходимо показать, что они имеют два равных угла и отношение длин сторон при этих углах также равно.

а) Угол QTR и угол STR являются вертикальными углами, поэтому они равны между собой. Также угол TQR равен углу TPS, так как они оба являются внутренними соответствующими углами при пересечении двух параллельных прямых QR и PS относительно третьей стороны QS. Аналогично, угол QRT равен углу STR, так как они оба являются внутренними соответствующими углами при пересечении двух параллельных прямых QR и PS относительно диагонали TS.

Таким образом, треугольники QTR и STR имеют два равных угла, а значит, они подобны.

б) Для нахождения длины отрезка TS можно воспользоваться теоремой Пифагора для треугольников PTS и QTR.

В треугольнике PTS: $PT^2+TS^2=PS^2$ $PT^2+TS^2=196$ (подставляем PS=14)

В треугольнике QTR: $QT^2+TR^2=QR^2$ $QT^2+(TS+PT)^2=49$ (подставляем QR=7 и заменяем TR на (TS+PT))

Мы можем выразить $PT^2$ из первого уравнения и подставить его во второе уравнение: $QT^2+(TS+\sqrt{196-TS^2})^2=49$ $QT^2+TS^2+196+2TS\sqrt{196-TS^2}=49$ $2TS\sqrt{196-TS^2}= -TS^2+49-196+QT^2$ $4TS^2(196-TS^2)=(TS^2-147)^2-QT^2(TS^2-196)$

Заменяем $QT^2$ на $196-TS^2$: $4TS^2(196-TS^2)=(TS^2-147)^2-(196-TS^2)(TS^2-196)$ $4TS^2(196-TS^2)=TS^4-343TS^2+147^2-392TS^2+196^2$ $TS^4-672TS^2+147^2+196^2=0$ $TS^4-672TS^2+60545=0$

Решаем это уравнение относительно $TS^2$: $TS^2=\frac{672\pm\sqrt{672^2-4\cdot1\cdot60545}}{2\cdot1}$