Question

В параллелограмме ABCD AB=28 см, BC=60 см, BD=44 см. Найдите сумму высот, проведенных из вершины D. Ответ запишите в мм.

Answer 1

Высота, проведенная к стороне АД может быть найдена как высота треугольника АВД со сторонами 28; 44; 60
Находим площадь по формуле Герона.
р=(28+44+60)/2=66
$S(\triangle ABD)= \sqrt{66\cdot (66-28)\cdot (66-44)\cdot (66-60)} = \\ \\ = \sqrt{66\cdot38 \cdot22\cdot 6} =132 \sqrt{19}$

C другой стороны, 
S(ΔABD)=AD·H/2       ⇒    H=2·132√19/60= 4,4√19

S(параллелограмма)=AD·H      и S(параллелограмма)=CD·h

AD·H=CD·h      h=60·4,4√19/28=66√19/7

H+h=4,4√19+66√19/7=11√19·(0,4+6/7)=1078√19/70 

Answer 2

Обозначим высоты, проведенные из вершины D, как $h_1$ и $h_2$. Заметим, что $h_1$ является высотой треугольника ABD, а $h_2$ - высотой треугольника BCD.

Выразим $h_1$ через стороны треугольника ABD. Обозначим $h_1$ как $DH$. Тогда $DH = \frac{2S_{ABD}}{AB} = \frac{2\cdot \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BD \cdot \sin{\angle ABD}}{AB} = BD \cdot \sin{\angle ABD}$.

Аналогично, выразим $h_2$ через стороны треугольника BCD. Обозначим $h_2$ как $DG$. Тогда $DG = \frac{2S_{BCD}}{BC} = \frac{2\cdot \frac{1}{2} \cdot BC \cdot BD \cdot \sin{\angle CBD}}{BC} = BD \cdot \sin{\angle CBD}$.

Заметим, что $\angle ABD = \angle CBD$, так как они являются смежными прилежащими углами в параллелограмме. Таким образом, $h_1 = h_2 = BD \cdot \sin{\angle ABD} = BD \cdot \sin{\angle CBD}$.

Найдем $\sin{\angle ABD}$ с помощью теоремы косинусов для треугольника ABD:

$AB^2 = AD^2 + BD^2 - 2 \cdot AD \cdot BD \cdot \cos{\angle ABD}$

$28^2 = AD^2 + 44^2 - 2 \cdot AD \cdot 44 \cdot \cos{\angle ABD}$

$2 \cdot AD \cdot 44 \cdot \cos{\angle ABD} = AD^2 - 28^2 + 44^2$

$2 \cdot AD \cdot 44 \cdot \cos{\angle ABD} = (AD - 28) \cdot (AD + 28) + 44^2$

$\cos{\angle ABD} = \frac{(AD - 28) \cdot (AD + 28) + 44^2}{2 \cdot AD \cdot 44}$

Аналогично, найдем $\sin{\angle CBD}$ с помощью теоремы косинусов для треугольника BCD:

$BC^2 = BD^2 + CD^2 - 2 \cdot BD \cdot CD \cdot \cos{\angle CBD}$

$60^2 = 44^2 + CD^2 - 2 \cdot 44 \cdot CD \cdot \cos{\angle CBD}$

$2 \cdot 44 \cdot CD \cdot \cos{\angle CBD} = CD^2 - 60^2 + 44^2$

$2 \cdot 44 \cdot CD \cdot \cos{\angle CBD} = (CD + 60) \cdot (CD - 60) + 44^2$

$\cos{\angle CBD} = \frac{(CD + 60) \cdot (CD - 60